Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Encontre o intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{3 x} /\left(1+e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da variação dos parâmetros, a equação diferencial
y'' - 3y' + 2y = \frac{e^{3x}}{1 + e^x}
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos precisar de:
1. Resolver a equação homogênea associada.
2. Escolher uma base de soluções y_1,y_2 da homogênea e calcular o Wronskiano.
3. Aplicar as fórmulas de variação dos parâmetros para obter uma solução particular.
4. Somar homogênea e particular para ter a solução geral.
5. Determinar o intervalo onde a solução é válida (coeficientes e termo não homogêneo devem ser contínuos).

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0
com raízes r=1 e r=2.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}.

Passo 3

Para variação dos parâmetros, tomamos
y_1 = e^x,\quad y_2 = e^{2x}.
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^x & e^{2x} \\\ e^x & 2e^{2x} \end{vmatrix} = e^x\cdot 2e^{2x} - e^x\cdot e^{2x} = e^{3x}.
As fórmulas para as derivadas dos coeficientes variáveis são
u_1' = -\frac{y_2\,g(x)}{W},\qquad u_2' = \frac{y_1\,g(x)}{W},
onde g(x)=\dfrac{e^{3x}}{1+e^x}.

Passo 4

Calculamos u_1' e u_2':
u_1' = -\frac{e^{2x}\,\bigl(e^{3x}/(1+e^x)\bigr)}{e^{3x}} = -\frac{e^{2x}}{1+e^x}, \quad u_2' = \frac{e^{x}\,\bigl(e^{3x}/(1+e^x)\bigr)}{e^{3x}} = \frac{e^{x}}{1+e^x}.
Agora integramos:
Para u_1, use u=e^x\Rightarrow du=e^x dx:
u_1 = -\int \frac{e^{2x}}{1+e^x}\,dx = -\int \frac{u^2}{1+u}\,\frac{du}{u} = -\int \frac{u}{1+u}\,du = -\bigl(u - \ln(1+u)\bigr) = -\bigl(e^x - \ln(1+e^x)\bigr).
Para u_2, com a mesma substituição:
u_2 = \int \frac{e^x}{1+e^x}\,dx = \int \frac{du}{1+u} = \ln(1+u) = \ln(1+e^x).

Passo 5

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = -\bigl(e^x - \ln(1+e^x)\bigr)\,e^x \;+\;\ln(1+e^x)\,e^{2x}.
Expandindo e simplificando, notamos que o termo -e^{2x} pode ser absorvido em C_2 e^{2x}. Então basta tomar como particular
y_p = e^x\,(1+e^x)\,\ln(1+e^x).
Portanto, a solução geral fica
y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + e^x\,(1+e^x)\,\ln(1+e^x).

Passo 6

O termo não homogêneo \tfrac{e^{3x}}{1+e^x} é contínuo sempre que 1+e^x\neq0. Como e^x>0 para todo x\in\mathbb{R}, temos 1+e^x>0 sempre. Logo a solução é válida em todo o domínio real:
(-\infty,\,+\infty).

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + e^x\,(1+e^x)\,\ln\bigl(1+e^x\bigr),}
válida para x\in(-\infty,\infty).

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