Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Encontre o intervalo no qual a solução geral seja válida. y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{3 x} /\left(1+e^{x}\right)
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método da variação dos parâmetros, a equação diferencial
y'' - 3y' + 2y = \frac{e^{3x}}{1 + e^x}
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos precisar de: 1. Resolver a equação homogênea associada. 2. Escolher uma base de soluções y_1,y_2 da homogênea e calcular o Wronskiano. 3. Aplicar as fórmulas de variação dos parâmetros para obter uma solução particular. 4. Somar homogênea e particular para ter a solução geral. 5. Determinar o intervalo onde a solução é válida (coeficientes e termo não homogêneo devem ser contínuos).
Passo 2
Primeiro, resolvemos a homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0
com raízes r=1 e r=2.
Logo, a solução geral da homogênea é
O termo não homogêneo \tfrac{e^{3x}}{1+e^x} é contínuo sempre que 1+e^x\neq0. Como e^x>0 para todo x\in\mathbb{R}, temos 1+e^x>0 sempre. Logo a solução é válida em todo o domínio real: