Calcule a função derivada das funçöes abaixo:
\log _{2}\left(x^{2}\right) para x \neq 0

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\log_{2}\bigl(x^{2}\bigr)
no domínio x\neq0. O conteúdo aplicado será a mudança de base do logaritmo e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Usamos a mudança de base para escrever o logaritmo em termos de ln:
f(x)=\frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{\ln2}.

Passo 3

Calculamos a derivada do numerador \ln\bigl(x^{2}\bigr) usando regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}\bigr) =\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =\frac{1}{x^{2}}\cdot(2x) =\frac{2}{x}.

Passo 4

Como \ln2 é constante, a derivada de f fica
f'(x) =\frac{1}{\ln2}\cdot\frac{2}{x} =\frac{2}{x\,\ln2}.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{x\,\ln2},\quad x\neq0.

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