Sabendo que y1(t) e y2(t) são soluções LI da edo y^prime prime(t)+p(t) y^prime+g(t) y=0, então prove que
y2(t)=y1(t) integral w(y1, y2)(t)y1^2(t) d t+c y1(t), com c in R

Passo 1

O enunciado considera a EDO homogênea de segunda ordem
y''(t)+p(t),y'(t)+g(t),y(t)=0
e diz que y1(t) e y2(t) são duas soluções linearmente independentes. Queremos mostrar que a segunda solução pode ser escrita em termos da primeira e do wronskiano
wl(y1,y2r)(t)=y1(t)y2'(t)-y2(t)y1'(t)
usando o método de redução de ordem.

Passo 2

Defina a função
u(t)=y2(t)y1(t)
Vamos calcular sua derivada usando a regra do quociente:
u'(t) =y2'(t),y1(t)-y2(t),y1'(t)y1^2(t) =wl(y1,y2r)(t)y1^2(t)

Passo 3

Como u'(t)=w(y1,y2)(t)/y1^2(t), integramos ambos os lados em t:
u(t) =integral wl(y1,y2r)(t)y1^2(t),dt + c, cinR

Passo 4

Voltando à definição de u, temos
y2(t)=u(t),y1(t) =y1(t),l(integral wl(y1,y2r)(t)y1^2(t),dt + cr) =y1(t)integral wl(y1,y2r)(t)y1^2(t),dt + c,y1(t)

Resposta

y2(t) =y1(t)integral wl(y1,y2r)(t)y1^2(t),dt + c,y1(t), cinR

Exercícios relacionados