Encontre a função
que resolve a equação diferencial
com a condição inicial
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função P(t) que satisfaz a equação diferencial
com condição inicial P(0)=1. Isso é um caso de equação de variáveis separáveis, onde vamos separar P e t e depois integrar.
Passo 2
Reescrevendo a equação para separar as variáveis, temos
ou seja
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Primeiro decompondo:
Resolvendo 1 = A(2-P) + B P dá A = B = \tfrac12. Então
Integrando ambos os lados:
E do lado direito temos
Passo 4
Igualando as integrais e absorvendo constantes, ficamos com
Multiplicando por 2 e exponenciando:
Isolando P:
Passo 5
Para achar K usamos P(0)=1:
Substituindo de volta, obtemos a solução particular.
Resposta
P(t) = \frac{2e^{2t}}{1 + e^{2t}} = \frac{2}{1 + e^{-2t}}