Encontre a função P(t) que resolve a equação diferencial
P(2-P) d t-d P=0,
com a condição inicial P(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função P(t) que satisfaz a equação diferencial
P(2-P),dt - dP = 0
com condição inicial P(0)=1. Isso é um caso de equação de variáveis separáveis, onde vamos separar P e t e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação para separar as variáveis, temos
P(2-P),dt = dP
ou seja
dPP(2-P) = dt .

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Primeiro decompondo:
1P(2-P) = AP + B2-P
Resolvendo 1 = A(2-P) + B P dá A = B = \tfrac12. Então
dPP(2-P) = 12l(1P + 12-Pr)dP
Integrando ambos os lados:
integral dPP(2-P) = 12integral l(1P + 12-Pr)dP = 12l(ln|P| - ln|2-P|r) + C
E do lado direito temos integral dt = t + C'

Passo 4

Igualando as integrais e absorvendo constantes, ficamos com
12l(ln|P| - ln|2-P|r) = t + C1
Multiplicando por 2 e exponenciando:
lnP2-P = 2t + C2
P2-P = K e^2t, com K=e^C2
Isolando P:
Pl(1 + K e^2tr) = 2K e^2t
P(t) = 2K e^2t1 + K e^2t

Passo 5

Para achar K usamos P(0)=1:
1 = 2K1 + K implies 1 + K = 2K implies K = 1
Substituindo de volta, obtemos a solução particular.

Resposta

P(t) = \frac{2e^{2t}}{1 + e^{2t}} = \frac{2}{1 + e^{-2t}}

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