Sabendo que y1(x)=x^-1, x>0 é solução da equação diferencial x^2 y^prime prime+3 x y^prime+y=0, encontre uma função u(x) tal que y2(x)=u(x) y1(x) seja solução da equação dada. Prove que y1(x) e y2(x) são soluções fundamentais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo:
x^2 y'' + 3x y' + y = 0
E uma solução conhecida dessa equação é $ y_{1}(x) = \frac{1}{x} $. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução da forma $ y_{2}(x) = u(x) \cdot y_{1}(x) $ e mostrar que essas duas soluções formam um par fundamental. Para isso, vamos precisar usar a técnica de redução de ordem e entender um pouco sobre soluções lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que $ y_{2}(x) = u(x) \cdot y_{1}(x) = u(x) \cdot \frac{1}{x} $. Nosso objetivo é encontrar a função $ u(x) $. Para isso, vamos calcular as derivadas de $ y_{2}(x) $:
y2(x) = u(x) cdot y1(x) = u(x) cdot 1x
u(x)
Mas isso está complicando bastante. Para simplificar, usamos a técnica de redução de ordem, assumindo que $ u’(x) = v(x) $. Assim, $ y_{2}’(x) = v(x) \cdot \frac{1}{x} + u(x) \cdot \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) $.

Passo 3

Na técnica de redução de ordem, a ideia é simplificar a equação substituindo $ u’(x) = v(x) $. Dessa forma, conseguimos transformar a equação diferencial original em uma forma mais fácil de resolver para $ v(x) $. Vamos substituir $ y_{2}(x) $, $ y_{2}’(x) $ e $ y_{2}’’(x) $ na equação original:
u'(x) = v(x)
Substituindo as derivadas, temos uma equação em termos de $ v(x) $ que podemos resolver.

Passo 4

Após simplificar a equação com as substituições feitas, chegamos a uma equação diferencial para $ v(x) $. Resolvendo essa equação, encontramos que $ v(x) $ é proporcional a $ \frac{1}{x^{3}} $. Integrando $ v(x) $, obtemos $ u(x) $:
v(x)
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração $ C $.

Passo 5

Agora que temos $ u(x) = -\frac{1}{2x^{2}} $, podemos escrever a segunda solução:
u(x) = -12x^2

Passo 6

Por fim, para provar que $ y_{1}(x) $ e $ y_{2}(x) $ são soluções fundamentais, precisamos mostrar que elas são linearly independentes. Calculamos o Wronskiano dessas duas soluções:
y1(x)
Calculando as derivadas e o determinante, encontramos que o Wronskiano é diferente de zero, o que confirma que as soluções são lineares e, portanto, fundamentais.

Resposta

A função $ u(x) $ é $ u(x) = -\frac{1}{2x^{2}} $ e a segunda solução é $ y_{2}(x) = -\frac{1}{2x^{3}} $. Além disso, $ y_{1}(x) $ e $ y_{2}(x) $ são soluções fundamentais da equação diferencial dada.

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