Sabendo que
é solução da equação diferencial
, encontre uma função
tal que
seja solução da equação dada. Prove que
e
são soluções fundamentais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo:
E uma solução conhecida dessa equação é $ y_{1}(x) = \frac{1}{x} $. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução da forma $ y_{2}(x) = u(x) \cdot y_{1}(x) $ e mostrar que essas duas soluções formam um par fundamental. Para isso, vamos precisar usar a técnica de redução de ordem e entender um pouco sobre soluções lineares de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, sabemos que $ y_{2}(x) = u(x) \cdot y_{1}(x) = u(x) \cdot \frac{1}{x} $. Nosso objetivo é encontrar a função $ u(x) $. Para isso, vamos calcular as derivadas de $ y_{2}(x) $:
Mas isso está complicando bastante. Para simplificar, usamos a técnica de redução de ordem, assumindo que $ u’(x) = v(x) $. Assim, $ y_{2}’(x) = v(x) \cdot \frac{1}{x} + u(x) \cdot \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) $.
Passo 3
Na técnica de redução de ordem, a ideia é simplificar a equação substituindo $ u’(x) = v(x) $. Dessa forma, conseguimos transformar a equação diferencial original em uma forma mais fácil de resolver para $ v(x) $. Vamos substituir $ y_{2}(x) $, $ y_{2}’(x) $ e $ y_{2}’’(x) $ na equação original:
Substituindo as derivadas, temos uma equação em termos de $ v(x) $ que podemos resolver.
Passo 4
Após simplificar a equação com as substituições feitas, chegamos a uma equação diferencial para $ v(x) $. Resolvendo essa equação, encontramos que $ v(x) $ é proporcional a $ \frac{1}{x^{3}} $. Integrando $ v(x) $, obtemos $ u(x) $:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração $ C $.
Passo 5
Agora que temos $ u(x) = -\frac{1}{2x^{2}} $, podemos escrever a segunda solução:
Passo 6
Por fim, para provar que $ y_{1}(x) $ e $ y_{2}(x) $ são soluções fundamentais, precisamos mostrar que elas são linearly independentes. Calculamos o Wronskiano dessas duas soluções:
Calculando as derivadas e o determinante, encontramos que o Wronskiano é diferente de zero, o que confirma que as soluções são lineares e, portanto, fundamentais.
Resposta
A função $ u(x) $ é $ u(x) = -\frac{1}{2x^{2}} $ e a segunda solução é $ y_{2}(x) = -\frac{1}{2x^{3}} $. Além disso, $ y_{1}(x) $ e $ y_{2}(x) $ são soluções fundamentais da equação diferencial dada.