Sabendo que y1(x)=x^2 e y2(x)=x^5 são soluções da equação x^2 y^prime prime-6 x y^prime+10 y=0, obtenha a solução do PVI:
l x^2 y^prime prime-6 x y^prime+10 y=0 y(1)=3 y^prime(1)=3

Passo 1

O enunciado fornece a equação de Euler
x^2 y'' - 6x y' + 10y = 0
e dá duas soluções independentes conhecidas: y1(x)=x^2 e y2(x)=x^5. Pela teoria de EDOs lineares homogêneas de 2ª ordem, a solução geral é a combinação linear dessas soluções.

Passo 2

Escrevemos a solução geral como
y(x)=C1 x^2 + C2 x^5

Passo 3

Calculamos a derivada
y'(x)=2C1 x + 5C2 x^4
e aplicamos as condições iniciais em x=1:
y(1)=C1 + C2 = 3 e y'(1)=2C1 + 5C2 = 3, formando o sistema linear.

Passo 4

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 3 2C1 + 5C2 = 3
obtemos C1 = 4 e C2 = -1.

Resposta

y(x)=4x^2 - x^5

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