Sabendo que z=F(u, v)=u^4 v^3, u(x, y)=y sen x e v(x, y)=e^y, calcule partial z / partial y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular partial z/partial y onde z=F(u,v)=u^4v^3, u(x,y)=ysin x e v(x,y)=e^y. O conteúdo envolve derivadas parciais e regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia escrevemos:
partial zpartial y =Fupartial upartial y+Fvpartial vpartial y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F(u,v)=u^4v^3:
Fu=4u^3v^3, Fv=3u^4v^2

Passo 4

Agora calculamos partial u/partial y e partial v/partial y:
partial upartial y=sin x, partial vpartial y=e^y

Passo 5

Substituindo tudo na regra da cadeia e depois substituindo u=ysin x e v=e^y, temos:
partial zpartial y =4u^3v^3sin x+3u^4v^2e^y =4(ysin x)^3e^3ysin x+3(ysin x)^4e^2ye^y

Passo 6

Por fim, fatoramos o resultado:
partial zpartial y=y^3sin^4x,e^3y(4+3y)

Resposta

partial z/partial y=y^3sin^4x,e^3y(4+3y)

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