Sejam F(u, v, w)=u^2+v^2-w, u(x, y, z)=x^2 y, v(x, y, z)= y-z e w(x, y, z)=x+z-y^2. Calcule
partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z

Passo 1

Temos a função composta:
F(u,v,w)=u^2+v^2-w,
com as variáveis dependentes de x,y,z:
u(x,y,z)=x^2y, v(x,y,z)=y-z, w(x,y,z)=x+z-y^2
O conteúdo aqui é derivadas parciais de função composta, e vamos usar a regra da cadeia para calcular partial F/partial x, partial F/partial y e partial F/partial z.

Passo 2

Primeiro, obtemos as derivadas parciais de F em relação a u, v e w. Como
F(u,v,w)=u^2+v^2-w,
está claro que
Fu=2u,
Fv=2v,
Fw=-1

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de u, v e w em relação a x, y e z:
ux=2xy,
uy=x^2,
uz=0,
vx=0,
vy=1,
vz=-1,
wx=1,
wy=-2y,
wz=1

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para calcular partial Fpartial x:
partial Fpartial x=Fu,ux+Fv,vx+Fw,wx
Substituindo os valores:
partial Fpartial x=2ucdot(2xy)+2vcdot0+(-1)cdot1=4xyu-1=4xy(x^2y)-1=4x^3y^2-1

Passo 5

Agora calculamos partial Fpartial y e partial Fpartial z do mesmo modo:
partial Fpartial y=Fu,uy+Fv,vy+Fw,wy =2ucdot x^2+2vcdot1+(-1)cdot(-2y) =2x^2(x^2y)+2(y-z)+2y =2x^4y+4y-2z,
partial Fpartial z=Fu,uz+Fv,vz+Fw,wz =2ucdot0+2vcdot(-1)+(-1)cdot1 =-2v-1=-2(y-z)-1=-2y+2z-1

Resposta

partial Fpartial x=4x^3y^2-1,partial Fpartial y=2x^4y+4y-2z,partial Fpartial z=-2y+2z-1

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