Sabendo que z=x+y i \in \mathbb{C}, encontre as partes real e imaginária de:
\frac{z-1}{z+1}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as partes real e imaginária da expressão \dfrac{z-1}{z+1}, sabendo que z=x+yi com x,y\in\mathbb{R}. Informação importante dada:
  • z=x+yi.
  • Deve-se obter \operatorname{Re}\!\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right) e \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right).
  • É necessário que o denominador não seja zero, ou seja z\neq -1, o que equivale a (x,y)\neq(-1,0).

Passo 2

Escrevendo explicitamente numerador e denominador em termos de x e y:
z-1=(x-1)+yi,\qquad z+1=(x+1)+yi.

Passo 3

Estratégia prática: para extrair as partes real e imaginária de uma fração complexa, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de a+bi é a-bi e o produto (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 é real (é o quadrado do módulo). Aqui o conjugado de z+1=(x+1)+yi é (x+1)-yi.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador por (x+1)-yi:
\frac{z-1}{z+1} = \frac{\bigl((x-1)+yi\bigr)\bigl((x+1)-yi\bigr)}{\bigl((x+1)+yi\bigr)\bigl((x+1)-yi\bigr)}.
O denominador é, portanto,
\bigl((x+1)+yi\bigr)\bigl((x+1)-yi\bigr)=(x+1)^2+y^2.

Passo 5

Agora expandimos o numerador passo a passo. Calcule
\bigl((x-1)+yi\bigr)\bigl((x+1)-yi\bigr).
Fazendo a multiplicação termo a termo:
(x-1)(x+1) + (x-1)(-yi) + yi(x+1) + yi(-yi).
Agrupando as partes reais e imaginárias e lembrando que i^2=-1:
(x-1)(x+1) + yi\bigl((x+1)-(x-1)\bigr) + y^2.
Observe que (x+1)-(x-1)=2. Então o numerador fica
(x^2-1)+y^2 + i(2y).
Reescrevendo o termo real como x^2+y^2-1, o numerador é
(x^2+y^2-1) + i(2y).

Passo 6

Colocando tudo sobre o denominador comum (x+1)^2+y^2, obtemos
\frac{z-1}{z+1} = \frac{(x^2+y^2-1) + i(2y)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2} \;+\; i\cdot\frac{2y}{(x+1)^2+y^2}.
Daí, identificam-se diretamente a parte real e a parte imaginária.

Passo 7

Comentário rápido de verificação (opcional): se x=0 e y=1 então a fórmula dá
\operatorname{Re}=\frac{0+1-1}{(0+1)^2+1^2}=0,\qquad \operatorname{Im}=\frac{2\cdot1}{1+1}=1,
logo \dfrac{z-1}{z+1}=i, que bate com o cálculo direto nesse caso.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Re}\!\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{x^{2}+y^{2}-1}{(x+1)^{2}+y^{2}}
\displaystyle \operatorname{Im}\!\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{2y}{(x+1)^{2}+y^{2}}

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