Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas, verifique que as seguintes funções não são analíticas em nenhum ponto:
f(z)=e^{y} \cdot(\cos x+i \operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(z)=e^{y}\cdot(\cos x + i\,\operatorname{sen} x)
onde z=x+iy. A tarefa é verificar, usando as Equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas, que essa função não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.
Informações dadas:
  • A função é dada em termos das partes reais x e y.
  • Podemos identificar a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y).
O que se pede:
  • Mostrar que não existe ponto (x,y) onde as Equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas (com derivadas parciais contínuas), portanto f não é analítica em nenhum ponto.

Passo 2

Breve revisão (didática e direta) do que precisamos usar.
Definição prática: uma função f é analítica (holomorfa) num ponto se ela é complexamente diferenciável numa vizinhança desse ponto. Uma ferramenta para testar isso são as Equações de Cauchy–Riemann (CR). Em coordenadas cartesianas, escrevemos
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
onde u e v são funções reais de (x,y). As Equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y \qquad\text{e}\qquad u_y = -v_x.
Importante: se u e v têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança, então as CR são condição necessária e suficiente para f ser holomorfa nessa vizinhança. Aqui as funções que surgem serão exponenciais e seno/cosseno, cujas derivadas parciais são contínuas, então podemos usar CR sem medo.

Passo 3

Identificar u e v a partir da função dada. Primeiro reescrevo usando notação habitual de seno:
f(z)=e^{y}(\cos x + i\sin x).
Portanto
u(x,y)=e^{y}\cos x, \qquad v(x,y)=e^{y}\sin x.
Agora calculo as derivadas parciais necessárias, uma a uma, mostrando os passos:
Derivadas em relação a x:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{y}\cos x\big) = e^{y}\cdot(-\sin x) = -e^{y}\sin x,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{y}\sin x\big) = e^{y}\cos x.
Derivadas em relação a y:
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{y}\cos x\big) = e^{y}\cos x,
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{y}\sin x\big) = e^{y}\sin x.
Observação: todas essas derivadas existem e são contínuas porque são combinações de exponencial e seno/cosseno.

Passo 4

Agora imponho as Equações de Cauchy–Riemann e vejo se existem pontos que as satisfazem.
Primeira CR: u_x = v_y. Substituindo,
-u^{y}\sin x = e^{y}\sin x.
Escrevendo corretamente,
-u^{y}\sin x = v_y \quad\Longrightarrow\quad -e^{y}\sin x = e^{y}\sin x.
Passando tudo para um lado:
- e^{y}\sin x - e^{y}\sin x = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2e^{y}\sin x = 0.
Como e^{y}>0 para todo y, isso implica necessariamente
\sin x = 0.
Segunda CR: u_y = -v_x. Substituindo,
e^{y}\cos x = -\,e^{y}\cos x.
Ou seja,
e^{y}\cos x + e^{y}\cos x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2e^{y}\cos x = 0,
o que, novamente usando e^{y}>0, implica
\cos x = 0.

Passo 5

Para que as duas Equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas simultaneamente num mesmo ponto (x,y) é preciso ter
\sin x = 0 \quad\text{e}\quad \cos x = 0
ao mesmo tempo. Mas não existe nenhum x real que satisfaça simultaneamente \sin x = 0 e \cos x = 0 — essas equações são mutuamente exclusivas. Portanto NÃO existe nenhum ponto (x,y) onde ambas as CR se cumpram.
Como as derivadas parciais são contínuas, as CR são condição necessária e suficiente para f ser holomorfa numa vizinhança. Assim, não existe ponto em que f seja holomorfa (analítica) — ou seja, f não é analítica em nenhum ponto do plano.

Passo 6

Uma observação intuitiva e curta que ajuda a fixar: escrevendo em termos de \bar z nota-se que
\bar z = x - i y \quad\Rightarrow\quad i\bar z = i x + y,
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f(z)=e^{y}(\cos x + i\sin x)=e^{y}e^{i x}=e^{i x + y}=e^{i\bar z}.
Isso mostra que f depende apenas de \bar z, não de z. Funções que dependem apenas de \bar z são, em geral, anti-holomorfas, não holomorfas; portanto também por esse ângulo f não é holomorfa em nenhum ponto (a menos que fosse constante, o que não é o caso).

Resposta

A função f(z)=e^{y}(\cos x + i\operatorname{sen} x) não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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