Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas, verifique que as seguintes funções não são analíticas em nenhum ponto:
Passo 1
O enunciado fornece a função
onde
. A tarefa é verificar, usando as Equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas, que essa função não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.
Informações dadas:
- A função é dada em termos das partes reais
e . - Podemos identificar a parte real
e a parte imaginária .
O que se pede:
- Mostrar que não existe ponto
onde as Equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas (com derivadas parciais contínuas), portanto não é analítica em nenhum ponto.
Passo 2
Breve revisão (didática e direta) do que precisamos usar.
Definição prática: uma função
é analítica (holomorfa) num ponto se ela é complexamente diferenciável numa vizinhança desse ponto. Uma ferramenta para testar isso são as Equações de Cauchy–Riemann (CR). Em coordenadas cartesianas, escrevemos
onde
e
são funções reais de
. As Equações de Cauchy–Riemann são
Importante: se
e
têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança, então as CR são condição necessária e suficiente para
ser holomorfa nessa vizinhança. Aqui as funções que surgem serão exponenciais e seno/cosseno, cujas derivadas parciais são contínuas, então podemos usar CR sem medo.
Passo 3
Identificar
e
a partir da função dada. Primeiro reescrevo usando notação habitual de seno:
Portanto
Agora calculo as derivadas parciais necessárias, uma a uma, mostrando os passos:
Derivadas em relação a
:
Derivadas em relação a
:
Observação: todas essas derivadas existem e são contínuas porque são combinações de exponencial e seno/cosseno.
Passo 4
Agora imponho as Equações de Cauchy–Riemann e vejo se existem pontos que as satisfazem.
Primeira CR:
. Substituindo,
Escrevendo corretamente,
Passando tudo para um lado:
Como
para todo
, isso implica necessariamente
Segunda CR:
. Substituindo,
Ou seja,
o que, novamente usando
, implica
Passo 5
Para que as duas Equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas simultaneamente num mesmo ponto
é preciso ter
ao mesmo tempo. Mas não existe nenhum
real que satisfaça simultaneamente
e
— essas equações são mutuamente exclusivas. Portanto NÃO existe nenhum ponto
onde ambas as CR se cumpram.
Como as derivadas parciais são contínuas, as CR são condição necessária e suficiente para
ser holomorfa numa vizinhança. Assim, não existe ponto em que
seja holomorfa (analítica) — ou seja,
não é analítica em nenhum ponto do plano.
Passo 6
Uma observação intuitiva e curta que ajuda a fixar: escrevendo em termos de
nota-se que
logo
Isso mostra que
depende apenas de
, não de
. Funções que dependem apenas de
são, em geral, anti-holomorfas, não holomorfas; portanto também por esse ângulo
não é holomorfa em nenhum ponto (a menos que fosse constante, o que não é o caso).
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.