Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas, verifique que as seguintes funções têm derivada apenas em
e calcule
:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se:
- Verificar que
tem derivada apenas em . - Calcular
.
Informações explícitas fornecidas:
- A função é dada em termos da parte imaginária de
. - Não há outras condições ou pontos especiais além de
mencionado no enunciado.
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas cartesianas:
, onde
e
.
Substituindo na definição:
Portanto as componentes reais
e imaginárias
de
são
Aqui
e
são funções reais de duas variáveis:
.
Passo 3
Agora uma breve explicação das Equações de Cauchy–Riemann (CR) em coordenadas cartesianas — o que eu vou usar e por quê.
Se
e as derivadas parciais
existem num ponto e são contínuas numa vizinhança, então uma condição necessária (e, com essa continuidade, também suficiente) para
ser complexamente diferenciável num ponto é que as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas naquele ponto:
O que esses símbolos significam:
-
é a derivada parcial de em relação a (mantendo fixo). -
é a derivada parcial de em relação a (mantendo fixo). -
e são análogas para .
Se as parciais existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem CR nesse ponto, então
é diferenciável (complexamente) nesse ponto e a derivada pode ser calculada por, por exemplo,
avaliado no ponto
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
. Partindo de
e
:
Essas contas são diretas: a derivada de
em relação a
é
(tratando
como constante), e assim por diante.
Passo 5
Impor as equações de Cauchy–Riemann nos pares acima, para um ponto genérico
:
Primeira equação
:
Segunda equação
:
Portanto a única solução simultânea é
e
, ou seja, o único ponto que pode satisfazer as CR é
, correspondente a
.
Como as equações de Cauchy–Riemann são necessárias para diferenciabilidade (quando as parciais existem), concluímos que
não pode ser complexamente diferenciável em nenhum ponto com
. Assim, a diferenciabilidade só é possível em
.
Passo 6
Verificar que em
a função é de fato diferenciável.
Observações:
- As derivadas parciais que calculamos são polinomiais em
(valores ), então elas existem e são contínuas em toda a vizinhança de . - As equações de Cauchy–Riemann foram satisfeitas em
(veja o passo anterior).
Por consequência, pelas condições padrão (parciais existentes e contínuas e CR satisfeitas),
é complexamente diferenciável em
.
Passo 7
Calcular
. Existem duas maneiras simples e equivalentes: usar a fórmula com parciais ou usar a definição do limite. Vou mostrar as duas para ficar bem claro.
(1) Pela fórmula com parciais:
Usando os valores das parciais:
logo
(2) Pela definição de derivada (limite):
Para temos
Para
Aqui usei que
(peguei
da representação
). Quando
temos
, então
Portanto
, consistente com (1).
Resposta
A função
é complexamente diferenciável apenas em
.
.