Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas, verifique que as seguintes funções têm derivada apenas em z_{0}=0 e calcule f^{\prime}(0) :
f(z)=z \cdot \operatorname{Im}(z)

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
f(z)=z\cdot\operatorname{Im}(z).
Pede-se:
  • Verificar que f tem derivada apenas em z_{0}=0.
  • Calcular f^{\prime}(0).
Informações explícitas fornecidas:
  • A função é dada em termos da parte imaginária de z.
  • Não há outras condições ou pontos especiais além de z_{0}=0 mencionado no enunciado.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas cartesianas: z=x+iy, onde x,y\in\mathbb{R} e \operatorname{Im}(z)=y.
Substituindo na definição:
f(z)=(x+iy)\cdot y = xy + i y^{2}.
Portanto as componentes reais u(x,y) e imaginárias v(x,y) de f são
u(x,y)=xy,\qquad v(x,y)=y^{2}.
Aqui u e v são funções reais de duas variáveis: u,v:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}.

Passo 3

Agora uma breve explicação das Equações de Cauchy–Riemann (CR) em coordenadas cartesianas — o que eu vou usar e por quê.
Se f=u+iv e as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y existem num ponto e são contínuas numa vizinhança, então uma condição necessária (e, com essa continuidade, também suficiente) para f ser complexamente diferenciável num ponto é que as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas naquele ponto:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
O que esses símbolos significam:
  • u_x é a derivada parcial de u em relação a x (mantendo y fixo).
  • u_y é a derivada parcial de u em relação a y (mantendo x fixo).
  • v_x e v_y são análogas para v.
Se as parciais existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem CR nesse ponto, então f é diferenciável (complexamente) nesse ponto e a derivada pode ser calculada por, por exemplo,
f'(z)=u_x(x,y)+i\,v_x(x,y),
avaliado no ponto (x,y).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u e v. Partindo de u(x,y)=xy e v(x,y)=y^2:
u_x(x,y)=y,\qquad u_y(x,y)=x,
v_x(x,y)=0,\qquad v_y(x,y)=2y.
Essas contas são diretas: a derivada de xy em relação a x é y (tratando y como constante), e assim por diante.

Passo 5

Impor as equações de Cauchy–Riemann nos pares acima, para um ponto genérico (x,y):
Primeira equação u_x=v_y:
y = 2y \quad\Rightarrow\quad y=0.
Segunda equação u_y=-v_x:
x = -0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto a única solução simultânea é x=0 e y=0, ou seja, o único ponto que pode satisfazer as CR é (0,0), correspondente a z=0.
Como as equações de Cauchy–Riemann são necessárias para diferenciabilidade (quando as parciais existem), concluímos que f não pode ser complexamente diferenciável em nenhum ponto com z\neq 0. Assim, a diferenciabilidade só é possível em z_{0}=0.

Passo 6

Verificar que em z=0 a função é de fato diferenciável.
Observações:
  • As derivadas parciais que calculamos são polinomiais em x,y (valores y,x,0,2y), então elas existem e são contínuas em toda a vizinhança de (0,0).
  • As equações de Cauchy–Riemann foram satisfeitas em (0,0) (veja o passo anterior).
Por consequência, pelas condições padrão (parciais existentes e contínuas e CR satisfeitas), f é complexamente diferenciável em z=0.

Passo 7

Calcular f'(0). Existem duas maneiras simples e equivalentes: usar a fórmula com parciais ou usar a definição do limite. Vou mostrar as duas para ficar bem claro.
(1) Pela fórmula com parciais:
f'(0)=u_x(0,0)+i\,v_x(0,0).
Usando os valores das parciais:
u_x(0,0)=0,\qquad v_x(0,0)=0,
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f'(0)=0+i\cdot 0 = 0.
(2) Pela definição de derivada (limite):
Para z\neq 0 temos
\frac{f(z)-f(0)}{z}=\frac{f(z)}{z}=\frac{(x+iy)\,y}{x+iy}=y.
Aqui usei que f(z)=y(x+iy)=y z (peguei y=\operatorname{Im}(z) da representação z=x+iy). Quando z\to 0 temos y\to 0, então
\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z}=\lim_{z\to 0} y = 0.
Portanto f'(0)=0, consistente com (1).

Resposta

A função f é complexamente diferenciável apenas em z_{0}=0.
f'(0)=0.

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