É sabido que a temperatura da atmosfera varia com a altitude. Na troposfera, que se estende até uma altitude de 11 km , por exemplo, a variação da temperatura pode ser aproximada por T=T_{0}-\beta z, onde T_{0} é a temperatura no nível do mar, que pode ser tomada como 288,15 \mathrm{~K} e \beta=0,0065 \mathrm{~K} / \mathrm{m}. A aceleração da gravidade também muda com a altitude, uma vez que g(z)= g_{0} /(1+z / 6.370 .320)^{2} onde g_{0}=9,807 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e z é a altitude com relação ao nível do mar em m . Obtenha uma relação para a variação de pressão na troposfera ignorando a variação de g com a altitude.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: obter uma relação para a variação da pressão na troposfera supondo que a aceleração da gravidade não varia com a altitude (usar g=g_0 constante).
  • Informações dadas (pegar do enunciado):
    • Temperatura como função da altitude: T=T_{0}-\beta z.
    • Temperatura ao nível do mar: T_{0}=288{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Gradiente vertical de temperatura (lapse rate): \beta=0{,}0065\\ \mathrm{K/m}.
    • Gravidade ao nível do mar (que vamos tomar constante): g=g_{0}=9{,}807\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Informação que usaremos (constante física do ar seco):
    • Constante específica dos gases para o ar seco: R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor aproximado).
  • Objetivo final: encontrar p(z) em função de p_{0} (pressão ao nível do mar) e das constantes acima.

Passo 2

Princípio físico básico: equilíbrio hidrostático.
  • Em atmosfera estática, a pressão varia com a altitude segundo a equação de equilíbrio hidrostático, que vem do balanço de forças verticais sobre uma camada de ar infinitesimal:
\frac{dp}{dz}=-\rho\,g.
  • Aqui:
    • p=p(z) é a pressão (em \mathrm{Pa}),
    • z é a altitude (em \mathrm{m}),
    • \rho=\rho(z) é a densidade do ar (em \mathrm{kg/m^{3}}),
    • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}), que estamos tomando g=g_{0} constante.
Explicação breve e intuitiva: a diferença de pressão vertical sobre um pequeno elemento de ar suporta o seu peso; daí surge a relação \,dp/dz=-\rho g.

Passo 3

Relacione densidade com pressão e temperatura usando a equação dos gases ideais.
  • Para o ar (modelo de gás ideal) vale:
p=\rho\,R\,T,
onde:
  • R é a constante específica do ar ( R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • T=T(z) é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • Isolando \rho:
\rho=\frac{p}{R\,T}.
Comentário didático: isso significa que, para um gás ideal, densidade aumenta se a pressão aumenta ou se a temperatura diminui, sempre com a proporcionalidade dada por R.

Passo 4

Substitua \rho na equação hidrostática para obter uma equação diferencial para p.
  • Substituindo \rho=\dfrac{p}{R\,T} em \dfrac{dp}{dz}=-\rho g (com g=g_{0} constante):
\frac{dp}{dz} = -\frac{p}{R\,T}\,g.
  • Rearranjando para ter termos em p num lado e termos em z no outro:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R}\,\frac{1}{T}\,dz.
Observação: esta é uma equação diferencial separável, porque os lados dependem separadamente de p e de z (através de T(z)).

Passo 5

Use a lei de variação da temperatura T=T_{0}-\beta z para expressar o lado direito em termos de z (e prepare para integrar).
  • Substituindo T=T_{0}-\beta z na equação anterior:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R}\,\frac{1}{T_{0}-\beta z}\,dz.
  • Para integrar de forma direta, é conveniente trocar de variável para T. Note que:
T=T_{0}-\beta z\quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{dz}=-\beta\quad\Rightarrow\quad dz=-\frac{dT}{\beta}.
  • Substituindo dz na equação:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R}\,\frac{1}{T}\left(-\frac{dT}{\beta}\right)
ou seja
\frac{1}{p}\,dp = \frac{g}{R\,\beta}\,\frac{1}{T}\,dT.

Passo 6

Integre ambos os lados entre o nível do mar (onde z=0, T=T_{0}, p=p_{0}) e uma altitude genérica z (onde T=T(z), p=p(z)).
  • Integrando:
\int_{p_{0}}^{p(z)}\frac{1}{p}\,dp = \frac{g}{R\,\beta}\int_{T_{0}}^{T(z)}\frac{1}{T}\,dT.
  • As integrais são logaritmos naturais:
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_{0}}\right) = \frac{g}{R\,\beta}\,\ln\!\left(\frac{T(z)}{T_{0}}\right).
Explicação: ao integrar \int \frac{1}{p}dp obtém-se \ln p; a constante de integração é eliminada ao fazer a integral definida entre p_{0} e p(z).

Passo 7

Exponencie para obter p(z) explicitamente e reescreva em função de z.
  • Exponenciando ambos os lados:
\frac{p(z)}{p_{0}} = \left(\frac{T(z)}{T_{0}}\right)^{\frac{g}{R\,\beta}}.
  • Lembrando que T(z)=T_{0}-\beta z, chega-se à forma final:
p(z)=p_{0}\,\left( \frac{T_{0}-\beta z}{T_{0}} \right)^{\frac{g}{R\,\beta}}.
  • Ou, escrevendo de forma equivalente:
p(z)=p_{0}\,\left(1-\frac{\beta z}{T_{0}}\right)^{\frac{g}{R\,\beta}}.
Comentário prático: o expoente \dfrac{g}{R\beta} é adimensional. Com os valores numéricos dados, esse expoente vale aproximadamente
\frac{g}{R\beta}\approx\frac{9{,}807}{287\cdot0{,}0065}\approx 5{,}26,
mas a forma simbólica é a mais útil.

Resposta

p(z)=p_{0}\,\left(1-\frac{\beta z}{T_{0}}\right)^{\frac{g}{R\,\beta}}

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