É sabido que a temperatura da atmosfera varia com a altitude. Na troposfera, que se estende até uma altitude de 11 km , por exemplo, a variação da temperatura pode ser aproximada por
, onde
é a temperatura no nível do mar, que pode ser tomada como
e
. A aceleração da gravidade também muda com a altitude, uma vez que
onde
e
é a altitude com relação ao nível do mar em m . Obtenha uma relação para a variação de pressão na troposfera ignorando a variação de
com a altitude.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedido: obter uma relação para a variação da pressão na troposfera supondo que a aceleração da gravidade não varia com a altitude (usar
constante). - Informações dadas (pegar do enunciado):
- Temperatura como função da altitude:
. - Temperatura ao nível do mar:
. - Gradiente vertical de temperatura (lapse rate):
. - Gravidade ao nível do mar (que vamos tomar constante):
.
- Temperatura como função da altitude:
- Informação que usaremos (constante física do ar seco):
- Constante específica dos gases para o ar seco:
(valor aproximado).
- Constante específica dos gases para o ar seco:
- Objetivo final: encontrar
em função de (pressão ao nível do mar) e das constantes acima.
Passo 2
Princípio físico básico: equilíbrio hidrostático.
- Em atmosfera estática, a pressão varia com a altitude segundo a equação de equilíbrio hidrostático, que vem do balanço de forças verticais sobre uma camada de ar infinitesimal:
- Aqui:
-
é a pressão (em ), -
é a altitude (em ), -
é a densidade do ar (em ), -
é a aceleração da gravidade (em ), que estamos tomando constante.
-
Explicação breve e intuitiva: a diferença de pressão vertical sobre um pequeno elemento de ar suporta o seu peso; daí surge a relação
.
Passo 3
Relacione densidade com pressão e temperatura usando a equação dos gases ideais.
- Para o ar (modelo de gás ideal) vale:
onde:
-
é a constante específica do ar ( ), -
é a temperatura absoluta (em ). - Isolando
:
Comentário didático: isso significa que, para um gás ideal, densidade aumenta se a pressão aumenta ou se a temperatura diminui, sempre com a proporcionalidade dada por
.
Passo 4
Substitua
na equação hidrostática para obter uma equação diferencial para
.
- Substituindo
em (com constante):
- Rearranjando para ter termos em
num lado e termos em no outro:
Observação: esta é uma equação diferencial separável, porque os lados dependem separadamente de
e de
(através de
).
Passo 5
Use a lei de variação da temperatura
para expressar o lado direito em termos de
(e prepare para integrar).
- Substituindo
na equação anterior:
- Para integrar de forma direta, é conveniente trocar de variável para
. Note que:
- Substituindo
na equação:
ou seja
Passo 6
Integre ambos os lados entre o nível do mar (onde
,
,
) e uma altitude genérica
(onde
,
).
- Integrando:
- As integrais são logaritmos naturais:
Explicação: ao integrar
obtém-se
; a constante de integração é eliminada ao fazer a integral definida entre
e
.
Passo 7
Exponencie para obter
explicitamente e reescreva em função de
.
- Exponenciando ambos os lados:
- Lembrando que
, chega-se à forma final:
- Ou, escrevendo de forma equivalente:
Comentário prático: o expoente
é adimensional. Com os valores numéricos dados, esse expoente vale aproximadamente
mas a forma simbólica é a mais útil.