A variação da pressão com a densidade em uma camada de gás espessa é dada por P=C \rho^{n}, onde C e n são constantes. Observando que a variação de pressão em uma camada de fluido diferencial com espessura d z na direção vertical z é dada por d P=-\rho g d z, obtenha uma relação para a pressão como função da elevação z. Considere a pressão e a densidade em z=0 como P_{0} e p_{0}, respectivamente.

Passo 1

Entender claramente o que o enunciado dá e pede.
  • Dados fornecidos:
    • A relação entre pressão e densidade é \displaystyle P = C\,\rho^{n}, onde C e n são constantes.
    • A variação de pressão em direção vertical é \displaystyle dP = -\rho\,g\,dz, com g a gravidade local.
    • Em z=0 temos \displaystyle P(0)=P_{0} e \displaystyle \rho(0)=\rho_{0}.
  • O que se pede:
    • Obter uma relação explícita para a pressão \displaystyle P como função da elevação \displaystyle z, isto é, \displaystyle P(z), usando as informações acima.

Passo 2

Expressar a densidade \rho em função da pressão P usando a lei do enunciado.
A partir de \displaystyle P = C\,\rho^{n} isolamos \rho:
\rho = \left(\dfrac{P}{C}\right)^{1/n}.
Isto significa que sempre que aparecer \rho podemos substituí-la por \left(P/C\right)^{1/n}.

Passo 3

Substituir \rho na equação hidrostática para obter uma equação diferencial em P.
A equação hidrostática é \displaystyle dP = -\rho\,g\,dz. Substituindo \rho obtemos
dP = -\left(\dfrac{P}{C}\right)^{1/n} g\,dz.
Esta é uma equação diferencial ordinária separável em P e z.

Passo 4

Separar variáveis e integrar.
Reescrever para separar P e z:
\dfrac{dP}{P^{1/n}} = -C^{-1/n} g\,dz.
Agora integramos ambos os lados entre os valores iniciais z=0 com P=P_{0} e um z genérico com P=P(z). Primeiro tratamos o caso geral n\neq 1.
Integral do lado esquerdo:
\int_{P_{0}}^{P} P^{-1/n}\,dP.
Para n\neq 1 usamos a potência: se integrando P^{\alpha} com \alpha\neq -1 temos \int P^{\alpha} dP = \dfrac{P^{\alpha+1}}{\alpha+1}. Aqui \alpha=-\tfrac{1}{n}, então \alpha+1 = 1-\tfrac{1}{n}=\tfrac{n-1}{n}. Assim
\int_{P_{0}}^{P} P^{-1/n}\,dP = \left.\dfrac{n}{n-1}\,P^{(n-1)/n}\right|_{P_{0}}^{P} = \dfrac{n}{n-1}\Bigl(P^{(n-1)/n}-P_{0}^{(n-1)/n}\Bigr).
Integral do lado direito:
\int_{0}^{z} -C^{-1/n} g\,dz = -C^{-1/n} g\,z.
Igualando as integrais:
\dfrac{n}{n-1}\Bigl(P^{(n-1)/n}-P_{0}^{(n-1)/n}\Bigr) = -C^{-1/n} g\,z.

Passo 5

Isolar P e simplificar usando P_{0} e \rho_{0}.
Da igualdade anterior obtemos
P^{(n-1)/n} = P_{0}^{(n-1)/n} - \dfrac{n-1}{n}\,C^{-1/n} g\,z.
Para escrever a solução em termos de P_{0} e \rho_{0} podemos usar C obtido em z=0: P_{0}=C\,\rho_{0}^{n}, logo
C^{-1/n} = \bigl(C\bigr)^{-1/n} = \bigl(P_{0}/\rho_{0}^{n}\bigr)^{-1/n} = P_{0}^{-1/n}\,\rho_{0}.
Substituindo isso na expressão acima e fatorando convenientemente, obtemos uma forma muito prática:
P^{(n-1)/n} = P_{0}^{(n-1)/n}\left[1 - \dfrac{n-1}{n}\dfrac{\rho_{0}g z}{P_{0}}\right].
Elevando ambos os lados à potência n/(n-1) vem a expressão final (válida para n\neq 1):
P(z)=P_{0}\left[1 - \dfrac{n-1}{n}\dfrac{\rho_{0} g z}{P_{0}}\right]^{\!n/(n-1)}.
Observações sobre validade: o parêntese deve ser positivo para P(z) real e positiva, ou seja até a altura em que
1 - \dfrac{n-1}{n}\dfrac{\rho_{0} g z}{P_{0}} > 0.

Passo 6

Caso especial n=1 (tratar separadamente).
Se n=1 a relação é P=C\rho. Substituindo na hidrostática temos \displaystyle dP = -\dfrac{P}{C}g\,dz, ou
\dfrac{dP}{P} = -\dfrac{g}{C}\,dz.
Integramos de 0 a z e de P_{0} a P, resultando em
\ln\!\left(\dfrac{P}{P_{0}}\right) = -\dfrac{g}{C}\,z.
Logo
P(z)=P_{0}\exp\!\Bigl(-\dfrac{g}{C}\,z\Bigr).
Usando C=P_{0}/\rho_{0} a constante \dfrac{g}{C} pode ser escrita como \dfrac{\rho_{0} g}{P_{0}}, então a forma equivalente é
P(z)=P_{0}\exp\!\Bigl(-\dfrac{\rho_{0} g}{P_{0}}\,z\Bigr).

Resposta

Para n\neq 1:
P(z)=P_{0}\left[1 - \dfrac{n-1}{n}\dfrac{\rho_{0} g z}{P_{0}}\right]^{\!n/(n-1)}
Para n=1:
P(z)=P_{0}\exp\!\Bigl(-\dfrac{\rho_{0} g}{P_{0}}\,z\Bigr)

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