A variação da pressão com a densidade em uma camada de gás espessa é dada por P=C \rho^{n}, onde C e n são constantes. Observando que a variação de pressão em uma camada de fluido diferencial com espessura d z na direção vertical z é dada por d P=-\rho g d z, obtenha uma relação para a pressão como função da elevação z. Considere a pressão e a densidade em z=0 como P_{0} e p_{0}, respectivamente.
Passo 1
Entender claramente o que o enunciado dá e pede.
Dados fornecidos:
A relação entre pressão e densidade é \displaystyle P = C\,\rho^{n}, onde C e n são constantes.
A variação de pressão em direção vertical é \displaystyle dP = -\rho\,g\,dz, com g a gravidade local.
Em z=0 temos \displaystyle P(0)=P_{0} e \displaystyle \rho(0)=\rho_{0}.
O que se pede:
Obter uma relação explícita para a pressão \displaystyle P como função da elevação \displaystyle z, isto é, \displaystyle P(z), usando as informações acima.
Passo 2
Expressar a densidade \rho em função da pressão P usando a lei do enunciado.
A partir de \displaystyle P = C\,\rho^{n} isolamos \rho:
\rho = \left(\dfrac{P}{C}\right)^{1/n}.
Isto significa que sempre que aparecer \rho podemos substituí-la por \left(P/C\right)^{1/n}.
Passo 3
Substituir \rho na equação hidrostática para obter uma equação diferencial em P.
A equação hidrostática é \displaystyle dP = -\rho\,g\,dz. Substituindo \rho obtemos
dP = -\left(\dfrac{P}{C}\right)^{1/n} g\,dz.
Esta é uma equação diferencial ordinária separável em P e z.
Passo 4
Separar variáveis e integrar.
Reescrever para separar P e z:
\dfrac{dP}{P^{1/n}} = -C^{-1/n} g\,dz.
Agora integramos ambos os lados entre os valores iniciais z=0 com P=P_{0} e um z genérico com P=P(z). Primeiro tratamos o caso geral n\neq 1.
Integral do lado esquerdo:
\int_{P_{0}}^{P} P^{-1/n}\,dP.
Para n\neq 1 usamos a potência: se integrando P^{\alpha} com \alpha\neq -1 temos \int P^{\alpha} dP = \dfrac{P^{\alpha+1}}{\alpha+1}. Aqui \alpha=-\tfrac{1}{n}, então \alpha+1 = 1-\tfrac{1}{n}=\tfrac{n-1}{n}. Assim