Sabiendo que un hilo metálico de 1.0 m de longitud y 1.0 mm de diámetro tiene una resistencia de 2.0 \Omega, calcular: 1) La resistencia de otro hilo del mismo metal de 2.0 m de longitud y 0,6 \mathrm{~mm} de diámetro. 2) En el caso de que por el conductor a que se refiere la cuestión anterior circule una corriente de 5.0 A, calcular la energía consumida por unidad de tiempo expresada en kW y el calor disipado al cabo de media hora, expresado en cal ( 1.0 \mathrm{~J}=0,24 \mathrm{cal} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras e nos dá alguns dados. Vou listar tudo para a gente não se perder.
Perguntas:
  1. Calcular a resistência do segundo fio.
  2. Se pelo segundo fio passar uma corrente de 5,0\\ \mathrm{A}, calcular: (a) a energia consumida por unidade de tempo (potência) em \mathrm{kW} e (b) o calor dissipado em meia hora, expresso em \mathrm{cal}.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Fio 1:}\quad L_1 = 1,0\\ \mathrm{m},\quad d_1 = 1,0\\ \mathrm{mm},\quad R_1 = 2,0\\ \Omega.\\[4pt] &\text{Fio 2 (mesmo metal):}\quad L_2 = 2,0\\ \mathrm{m},\quad d_2 = 0,6\\ \mathrm{mm}.\\[4pt] &\text{Corrente no fio 2 (para a segunda parte):}\quad I = 5,0\\ \mathrm{A}.\\[4pt] &\text{Conversão de energia:}\quad 1,0\\ \mathrm{J} = 0,24\\ \mathrm{cal}. \end{aligned}ã]

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A resistência elétrica de um fio homogêneo é dada por
R=\rho\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade do material (característica do metal), L é o comprimento e A é a área da secção transversal. Aqui \rho é o mesmo para os dois fios porque são do mesmo metal.
  • Para um fio cilíndrico, a área da secção transversal em função do diâmetro d é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Como os fios são do mesmo metal, podemos relacionar as resistências dos dois fios eliminando \rho. Dividindo as duas expressões R_2/R_1 obtemos
\frac{R_2}{R_1}=\frac{L_2}{L_1}\cdot\frac{A_1}{A_2}.
Como A\propto d^2, isso dá
\boxed{\displaystyle R_2 = R_1\cdot\frac{L_2}{L_1}\cdot\frac{d_1^{2}}{d_2^{2}}.}
Essa fórmula é muito útil na prova: para mesmo material, resistência escala linearmente com comprimento e inversamente com a área (ou com o quadrado do diâmetro).

Passo 3

Cálculo da resistência do segundo fio usando a fórmula do passo anterior. Primeiro fazemos as conversões de unidades para o Sistema Internacional: 1{,}0\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e 0{,}6\\ \mathrm{mm}=0{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Agora substituímos em
R_2 = R_1\cdot\frac{L_2}{L_1}\cdot\frac{d_1^{2}}{d_2^{2}}.
Substituindo os números (todos entre conforme pedem):
R_2 = 2{,}0\\ \Omega \cdot \frac{2{,}0\\ \mathrm{m}}{1{,}0\\ \mathrm{m}} \cdot \frac{\bigl(1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\bigr)^{2}}{\bigl(0{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\bigr)^{2}}.
Agora simplificamos passo a passo: a razão de comprimentos é \dfrac{2{,}0}{1{,}0}=2{,}0. A razão dos quadrados dos diâmetros é
\frac{(1{,}0\times10^{-3})^{2}}{(0{,}6\times10^{-3})^{2}}=\left(\frac{1{,}0}{0{,}6}\right)^{2}=\left(\frac{10}{6}\right)^{2}=\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}\approx 2{,}777\ldots
Multiplicando tudo:
R_2 = 2{,}0\cdot 2{,}0\cdot \frac{25}{9}\\ \Omega = 4{,}0\cdot \frac{25}{9}\\ \Omega = \frac{100}{9}\\ \Omega \approx 11{,}1\\ \Omega.
Portanto a resistência do segundo fio é \approx 11{,}1\\ \Omega. (Na prova, você pode usar 11{,}1\\ \Omega ou 11{,}11\ldots\Omega dependendo da precisão pedida.)

Passo 4

Cálculo da potência dissipada quando passa corrente I. Conceito curto: potência elétrica P é a energia consumida por unidade de tempo; para um resistor vale
P=I^{2}R.
Aqui usamos R=R_2 e I=5{,}0\\ \mathrm{A}. Substituindo:
P = (5{,}0\\ \mathrm{A})^{2}\cdot 11{,}1\\ \Omega.
Calculemos: (5{,}0)^{2}=25, então
P = 25\cdot 11{,}1\\ \mathrm{W} = 277{,}8\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox.}).
Agora convertemos para \mathrm{kW} (1 \mathrm{kW}=1000\\ \mathrm{W}):
P \approx 0{,}278\\ \mathrm{kW}.
Dica prática para prova: calcular P direto como I^2R é quase sempre mais rápido do que calcular energia e dividir por tempo.

Passo 5

Energia dissipada em meia hora. Primeiro convertemos meia hora para segundos: meia hora =30 minutos =30\times 60=1800\\ \mathrm{s}. Energia (em joules) é
E = P\cdot t.
Usamos P=277{,}8\\ \mathrm{W} (watts = joules por segundo) e t=1800\\ \mathrm{s}:
E = 277{,}777\ldots\\ \mathrm{W}\times 1800\\ \mathrm{s}.
Para evitar aproximações intermediárias podemos usar a forma fracionária exata vista antes: como R_2=\dfrac{100}{9}\\ \Omega, então
P = I^{2}R_2 = 25\cdot \frac{100}{9} = \frac{2500}{9}\\ \mathrm{W},
e
E = \frac{2500}{9}\cdot 1800\\ \mathrm{J} = 2500\cdot 200\\ \mathrm{J} = 500\,000\\ \mathrm{J}.
Agora convertendo para calorias usando 1{,}0\\ \mathrm{J}=0{,}24\\ \mathrm{cal}:
E_{\text{cal}} = 500\,000\\ \mathrm{J}\times 0{,}24\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{J}} = 120\,000\\ \mathrm{cal}.

Passo 6

Resumo rápido e checagem de ordem de grandeza (tranquilo, é só para você ganhar confiança): resistência maior que a original faz sentido porque o fio é mais longo ( 2\times) e mais fino (diâmetro menor), então R_2 fica várias vezes maior — confirmando o resultado \sim 11{,}1\\ \Omega. A potência com 5{,}0\\ \mathrm{A} fica algumas centenas de watts; em meia hora isso dá meio milhão de joules, ou 1,2\times10^{5}\\ \mathrm{cal}, valores compatíveis entre si.

Resposta

R_2 \approx 11{,}1\\ \Omega
P \approx 0{,}278\\ \mathrm{kW}
E_{\text{(30 min)}} = 120\,000\\ \mathrm{cal}

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