Un circuito eléctrico está formado por tres alambres de igual longitud y del mismo material unidos en serie. Los tres alambres tienen distinta sección: 1.0 \mathrm{~mm}^{2}, 2.0 \mathrm{~mm}^{2} y 3.0 \mathrm{~mm}^{2}. La diferencia de potencial entre los extremos del circuito es de 12 V . Determinar la caída de tensión que tiene lugar en cada uno de los alambres.

Passo 1

Dados e o que se pede: temos três alambres (fios) ligados em série, todos do mesmo material e com igual comprimento. As suas seções (áreas) são \,A_1=1{,}0\\ \mathrm{mm}^2, \,A_2=2{,}0\\ \mathrm{mm}^2 e \,A_3=3{,}0\\ \mathrm{mm}^2. A diferença de potencial total aplicada aos extremos do circuito é \,V_{\text{tot}}=12\\ \mathrm{V}.
O que o enunciado pede: determinar a queda de tensão (diferença de potencial) em cada um dos alambres, ou seja \Delta V_1,\\ \Delta V_2,\\ \Delta V_3.

Passo 2

Fórmula física básica para resistência de um fio: a resistência elétrica de um fio homogêneo de comprimento L, área da secção A e resistividade do material \rho é
R=\rho\frac{L}{A}.
Explicando as variáveis: \rho é uma propriedade do material (quanto maior, mais resistente), L é o comprimento do fio e A é a área da secção transversal (quanto maior a área, menor a resistência).

Passo 3

Como os três alambres têm o mesmo material e o mesmo comprimento, os factores \rho e L são iguais para todos. Então podemos escrever cada resistência como
R_i = k\frac{1}{A_i},
onde defino a constante comum k=\rho L. Isso mostra claramente que, nessas condições, a resistência é proporcional a 1/A. Ou seja, fios com área maior têm resistência menor.

Passo 4

Escrevendo as resistências dos três fios usando k:
R_1 = k\frac{1}{A_1},\qquad R_2 = k\frac{1}{A_2},\qquad R_3 = k\frac{1}{A_3}.
Substituindo as áreas fornecidas:
R_1 = k\frac{1}{1{,}0},\qquad R_2 = k\frac{1}{2{,}0},\qquad R_3 = k\frac{1}{3{,}0}.

Passo 5

Resistência total do circuito (são série, soma-se):
R_{\text{tot}}=R_1+R_2+R_3 = k\!\left(\frac{1}{1{,}0}+\frac{1}{2{,}0}+\frac{1}{3{,}0}\right).
Calculemos a soma dos recíprocos (não precisamos conhecer k explicitamente):
\frac{1}{1{,}0}+\frac{1}{2{,}0}+\frac{1}{3{,}0}=1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{11}{6}.
Portanto
R_{\text{tot}}=k\frac{11}{6}.

Passo 6

Corrente no circuito: em ligações em série a corrente é a mesma em todos os elementos. A corrente total é dada por
I=\frac{V_{\text{tot}}}{R_{\text{tot}}}.
Como R_{\text{tot}}=k\frac{11}{6}, temos
I=\frac{V_{\text{tot}}}{k}\cdot\frac{6}{11}.
Note que k cancela quando formos calcular razões de quedas de tensão (ver próximo passo).

Passo 7

Queda de tensão em cada fio: \Delta V_i = I R_i. Substituindo R_i=k\frac{1}{A_i} e I da etapa anterior:
\Delta V_i = \left(\frac{V_{\text{tot}}}{k}\cdot\frac{6}{11}\right)\left(k\frac{1}{A_i}\right) =V_{\text{tot}}\cdot\frac{\tfrac{1}{A_i}}{\tfrac{11}{6}} =V_{\text{tot}}\cdot\frac{1/A_i}{1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}}.
Isto é a regra da divisão de tensão: em série, a tensão distribui-se proporcionalmente às resistências; aqui como R_i\propto 1/A_i, a queda é proporcional a 1/A_i.

Passo 8

Agora calculamos numericamente cada queda usando a expressão simplificada
\Delta V_i = V_{\text{tot}}\cdot\frac{1/A_i}{11/6}.
Para i=1 ( A_1=1{,}0\\ \mathrm{mm}^2):
\Delta V_1 = 12\cdot\frac{1}{11/6}=12\cdot\frac{6}{11}=\frac{72}{11}\\ \mathrm{V}\approx 6{,}545\\ \mathrm{V}.
Para i=2 ( A_2=2{,}0\\ \mathrm{mm}^2):
\Delta V_2 = 12\cdot\frac{1/2}{11/6}=12\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{11}=\frac{36}{11}\\ \mathrm{V}\approx 3{,}273\\ \mathrm{V}.
Para i=3 ( A_3=3{,}0\\ \mathrm{mm}^2):
\Delta V_3 = 12\cdot\frac{1/3}{11/6}=12\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{11}=\frac{24}{11}\\ \mathrm{V}\approx 2{,}182\\ \mathrm{V}.

Passo 9

Verificação rápida: a soma das quedas deve ser \,12\\ \mathrm{V}. Somando as frações
\frac{72}{11}+\frac{36}{11}+\frac{24}{11}=\frac{132}{11}=12,
logo está consistente. Parabéns — já tens as quedas de tensão e a ideia de por que cada fio tem a queda que tem (área menor → resistência maior → maior queda em série). Força nos estudos!

Resposta

\Delta V_1=\dfrac{72}{11}\\ \mathrm{V}\approx 6{,}545\\ \mathrm{V}
\Delta V_2=\dfrac{36}{11}\\ \mathrm{V}\approx 3{,}273\\ \mathrm{V}
\Delta V_3=\dfrac{24}{11}\\ \mathrm{V}\approx 2{,}182\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados