La intensidad de la corriente producida por un generador es de 10 A cuando el circuito exterior es de 10 W , y de 8 A al duplicar la resistencia exterior. Calcular la resistencia que ha de tener un conductor para que al formar con él la resistencia exterior del circuito pase una intensidad de 9 A , y determinar la resistencia interna del generador y su FEM.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • A intensidade é I_1 = 10\\ \text{A} quando a resistência exterior é R_1 = 10\\ \Omega. (Peguei esse dado do enunciado.)
    • Ao duplicar a resistência exterior (ou seja, passar para 2R_1 = 20\\ \Omega), a intensidade passa a ser I_2 = 8\\ \text{A}. (Peguei esse dado do enunciado.)
  • Perguntas:
    1. Calcular a resistência R que deve ter um condutor para que, ao formar com ele a resistência exterior do circuito, passe uma intensidade I = 9\\ \text{A}.
    2. Determinar a resistência interna do gerador r.
    3. Determinar a força eletromotriz (FEM) do gerador E.

Passo 2

Modelo físico e fórmula fundamental que vamos usar (explicadinha como se estivéssemos na prova): um gerador real é modelado por uma FEM E em série com uma resistência interna r. Quando se conecta uma resistência exterior R_{\text{ext}}, a corrente que circula é dada por uma versão da Lei de Ohm aplicada ao circuito completo:
I = \frac{E}{R_{\text{ext}} + r}.
Aqui:
  • I é a corrente que queremos (em ampères),
  • E é a FEM do gerador (em volts),
  • R_{\text{ext}} é a resistência exterior ligada ao gerador (em ohms),
  • r é a resistência interna do gerador (em ohms).
Essa fórmula vem de: a tensão total fornecida pelo gerador é E; a queda de tensão no circuito é I(R_{\text{ext}}+r); igualando E = I(R_{\text{ext}}+r) obtemos a fórmula acima. Cada símbolo já está explicado.

Passo 3

Escrever as equações usando os dois pares de dados fornecidos, aplicando E = I(R_{\text{ext}} + r).
Para o primeiro caso ( R_{\text{ext}} = R_1 = 10\\ \Omega, I_1 = 10\\ \text{A}):
E = I_1\,(R_1 + r) \quad\Rightarrow\quad E = 10\,(10 + r).
Para o segundo caso ( R_{\text{ext}} = 2R_1 = 20\\ \Omega, I_2 = 8\\ \text{A}):
E = I_2\,(2R_1 + r) \quad\Rightarrow\quad E = 8\,(20 + r).
Ambas as expressões valem para a mesma E, então podemos igualá-las para eliminar E.

Passo 4

Igualar as duas expressões de E e resolver para r. Mostro cada passo algébrico:
10\,(10 + r) = 8\,(20 + r).
Desenvolvendo cada lado:
100 + 10r = 160 + 8r.
Isolando r: subtraio 8r e 100 de ambos os lados:
10r - 8r = 160 - 100
2r = 60
r = \frac{60}{2} = 30\\ \Omega.
Portanto a resistência interna do gerador é r = 30\\ \Omega.

Passo 5

Determinar a FEM E substituindo r em qualquer uma das expressões iniciais (uso a primeira por ser simples):
E = 10\,(10 + r) = 10\,(10 + 30).
Calculo:
E = 10 \cdot 40 = 400\\ \text{V}.
Então E = 400\\ \text{V}.

Passo 6

Calcular a resistência R do condutor para que a corrente seja I = 9\\ \text{A}. Usamos novamente a fórmula geral
I = \frac{E}{R + r}.
Isolando R:
R + r = \frac{E}{I} \quad\Rightarrow\quad R = \frac{E}{I} - r.
Substituindo E = 400\\ \text{V}, I = 9\\ \text{A} e r = 30\\ \Omega:
R = \frac{400}{9} - 30.
Coloco em forma de fração exata e depois em decimal:
R = \frac{400}{9} - \frac{270}{9} = \frac{130}{9}\\ \Omega.
Em decimal aproximado,
R \approx 14{,}444\ldots\\ \Omega.

Passo 7

Verificação rápida (útil para garantir que não escorregamos): somando R + r = \dfrac{400}{9} \\ \Omega, então a corrente esperada é
I = \frac{E}{R + r} = \frac{400}{400/9} = 9\\ \text{A},
ou seja, bate certinho com a condição pedida.

Resposta

R = \dfrac{130}{9}\\ \Omega \approx 14{,}444\\ \Omega
r = 30\\ \Omega
E = 400\\ \text{V}

Exercícios relacionados