Encontre o campo E no ponto \mathrm{P}(1,1,1) devido a quatro cargas idênticas de 3 nC localizadas nos pontos \mathrm{P} 1(1,1,0), \mathrm{P} 2(-1,1,0), \mathrm{P} 3(-1,-1,0) e \mathrm{P} 4(1,-1,0)

Passo 1

O enunciado dá quatro cargas idênticas e pede o campo elétrico no ponto P(1,1,1). Informações fornecidas (peguei estes pontos do enunciado):
  • Cargas: quatro cargas iguais de q=3\\ \text{nC}=3\times10^{-9}\\ \text{C}.
  • Localizações das cargas:
    • P_1(1,1,0),
    • P_2(-1,1,0),
    • P_3(-1,-1,0),
    • P_4(1,-1,0).
  • Ponto onde queremos o campo: P(1,1,1).
O que é pedido:
  • Calcular o campo elétrico \mathbf{E} no ponto P(1,1,1) devido à soma das quatro cargas.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vou usar (aula rápida, sem pular etapas):
  • Cada carga puntiforme produz um campo elétrico dado pela lei de Coulomb, na forma vetorial:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,\dfrac{q\,\mathbf{R}}{R^{3}},
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 é a constante eletrostática;
  • q é a carga que produz o campo (em C);
  • \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_\text{carga} é o vetor que vai da posição da carga até o ponto onde se calcula o campo;
  • R=\|\mathbf{R}\| é o comprimento desse vetor;
  • R^{3} = R\cdot R^{2} aparece porque a fórmula vetorial é kq\hat{\mathbf{R}}/R^{2} e \hat{\mathbf{R}}=\mathbf{R}/R, logo kq\mathbf{R}/R^{3}.
  • Princípio da superposição: o campo total é a soma vetorial dos campos de cada carga:
\mathbf{E}_\text{total}=\sum_{i=1}^{4}\mathbf{E}_i.
Vou aplicar isso computando \mathbf{R}_i, R_i, \mathbf{E}_i para cada carga e somando componente a componente.

Passo 3

Cálculo do vetor posição relativo \mathbf{R}_i=\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_{P_i} e das distâncias:
  • Para a carga em P_1(1,1,0):
\mathbf{R}_1 = (1,1,1)-(1,1,0) = (0,0,1),\qquad R_1=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1.
  • Para a carga em P_2(-1,1,0):
\mathbf{R}_2 = (1,1,1)-(-1,1,0) = (2,0,1),\qquad R_2=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt{5}.
  • Para a carga em P_3(-1,-1,0):
\mathbf{R}_3 = (1,1,1)-(-1,-1,0) = (2,2,1),\qquad R_3=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3.
  • Para a carga em P_4(1,-1,0):
\mathbf{R}_4 = (1,1,1)-(1,-1,0) = (0,2,1),\qquad R_4=\sqrt{0^2+2^2+1^2}=\sqrt{5}.

Passo 4

Expressar o campo de cada carga usando \mathbf{E}_i = k q \dfrac{\mathbf{R}_i}{R_i^{3}}. Primeiro mantenho a forma simbólica antes de inserir números.
  • Para P_1:
\mathbf{E}_1 = kq\,\dfrac{(0,0,1)}{1^{3}} = kq\,(0,0,1).
  • Para P_2 (veja R_2^{3}=(\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5}):
\mathbf{E}_2 = kq\,\dfrac{(2,0,1)}{(\sqrt{5})^{3}} = kq\,\dfrac{(2,0,1)}{5\sqrt{5}}.
  • Para P_3 (veja R_3^{3}=3^{3}=27):
\mathbf{E}_3 = kq\,\dfrac{(2,2,1)}{27}.
  • Para P_4 (mesmo R_4 que R_2):
\mathbf{E}_4 = kq\,\dfrac{(0,2,1)}{5\sqrt{5}}.

Passo 5

Somar componente a componente. Primeiro escrevo a soma simbólica:
\mathbf{E}_\text{total}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2+\mathbf{E}_3+\mathbf{E}_4.
Separando componentes (E_x,E_y,E_z):
E_x = kq\left(0 + \dfrac{2}{5\sqrt{5}} + \dfrac{2}{27} + 0\right),
E_y = kq\left(0 + 0 + \dfrac{2}{27} + \dfrac{2}{5\sqrt{5}}\right),
E_z = kq\left(1 + \dfrac{1}{5\sqrt{5}} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{5\sqrt{5}}\right).
Note que E_x e E_y têm a mesma expressão numérica (simetria do problema), então E_x=E_y.

Passo 6

Agora avalio numericamente os coeficientes e o produto kq. Valores usados:
k\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2,\qquad q=3\times10^{-9}\\ \text{C}.
Logo
kq = (8{,}98755179\times10^{9})\cdot(3\times10^{-9}) \approx 26{,}96265537\\ \text{N/C}.
Calculo dos coeficientes numéricos:
  • \sqrt{5}\approx 2{,}236067978, então 5\sqrt{5}\approx 11{,}180339887.
  • \dfrac{2}{5\sqrt{5}}\approx 0{,}1788854382.
  • \dfrac{1}{5\sqrt{5}}\approx 0{,}0894427191.
  • \dfrac{2}{27}\approx 0{,}07407407407.
  • \dfrac{1}{27}\approx 0{,}03703703704.
Somando os coeficientes:
E_x\text{ (fator)} = 0{,}1788854382 + 0{,}07407407407 \approx 0{,}2529595123,
E_z\text{ (fator)} = 1 + 0{,}0894427191 + 0{,}03703703704 + 0{,}0894427191 \approx 1{,}2169224752.

Passo 7

Multiplico pelos kq para obter os componentes numéricos do campo:
E_x = E_y \approx 26{,}96265537 \times 0{,}2529595123 \approx 6{,}8199\\ \text{N/C},
E_z \approx 26{,}96265537 \times 1{,}2169224752 \approx 32{,}8100\\ \text{N/C}.
Arredondando com razoável precisão (duas casas decimais):
E_x \approx 6{,}82\\ \text{N/C},\qquad E_y \approx 6{,}82\\ \text{N/C},\qquad E_z \approx 32{,}81\\ \text{N/C}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(1,1,1)\approx 6{,}82\,\hat{\mathbf{i}} + 6{,}82\,\hat{\mathbf{j}} + 32{,}81\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{N/C}

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