8 - As saídas dos canos de esgotos de uma casa construída em uma ladeira estão 9,2 m abaixo do nível da rua. Se o cano de esgoto se encontra a 2,6 \mathrm{~m} abaixo do nível da rua, encontre a diferença de pressão mínima que deve ser criada pela bomba de recalque para puxar o esgoto de densidade média de 875 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades abaixo foram fornecidas pelo enunciado):
  • A saída dos canos de esgoto da casa está a 9{,}2\\ \mathrm{m} abaixo do nível da rua.
  • O cano de esgoto (onde a bomba vai agir) encontra-se a 2{,}6\\ \mathrm{m} abaixo do nível da rua.
  • A densidade média do esgoto é \rho = 875\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O que pede o problema:
  • Encontrar a diferença de pressão mínima que a bomba deve criar para puxar o esgoto.

Passo 2

Entendendo a física (aulas rápidas, passo a passo):
  • Em fluidos em repouso a pressão aumenta com a profundidade devido ao peso do fluido acima. A relação básica que descreve isso é a fórmula da pressão hidrostática:
p = p_0 + \rho g h,
onde:
  • p é a pressão a uma profundidade h abaixo de uma superfície de referência,
  • p_0 é a pressão na superfície de referência,
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a diferença vertical (em \mathrm{m}) entre os dois pontos.
  • Para “puxar” o esgoto da saída mais profunda até o ponto mais alto (ou vice-versa), o mínimo que a bomba precisa vencer é a diferença de pressão associada à diferença de altura entre esses dois pontos. Em outras palavras, a diferença de pressão mínima é dada por
\Delta p_{\min} = \rho g \Delta h,
onde \Delta h é a diferença vertical entre os dois níveis do fluido. Aqui estamos assumindo que outras perdas (como atrito em tubos) e efeitos de vaporização são desprezíveis — isso é o caso de um cálculo de mínimo teórico.

Passo 3

Calcular a diferença de altura entre os dois pontos usando os dados do enunciado:
\Delta h = 9{,}2\\ \mathrm{m} - 2{,}6\\ \mathrm{m} = 6{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Escolher valor para g e calcular \rho g:
  • Usar g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
\rho g = 875\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} = 8583{,}75\\ \mathrm{N/m^{3}}.
(Observe que \mathrm{N/m^{3}} é equivalente a \mathrm{Pa/m}, pois \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^{2}}.)

Passo 5

Calcular a diferença de pressão mínima:
\Delta p_{\min} = \rho g \Delta h = 8583{,}75\\ \mathrm{N/m^{3}}\times 6{,}6\\ \mathrm{m}.
Fazendo a multiplicação em passos:
8583{,}75\times 6 = 51\,502{,}50,
8583{,}75\times 0{,}6 = 5\,150{,}25,
\Delta p_{\min} = 51\,502{,}50 + 5\,150{,}25 = 56\,652{,}75\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma prática:
\Delta p_{\min} \approx 5{,}665\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} = 56{,}65\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo:
  • Esse \Delta p_{\min} é o valor teórico mínimo de diferença de pressão que a bomba precisa impor (por exemplo, sugando a pressão até um valor suficientemente baixo no ponto superior ou pressurizando o ponto inferior) para vencer a cabeça hidrostática de 6{,}6\\ \mathrm{m}. Na prática convém dimensionar a bomba com folga para perdas por atrito e segurança, mas esse é o cálculo essencial que cai na prova — você já decorou a ideia: diferença de pressão mínima = \rho g \Delta h. Vai dar bom na prova, respira fundo e manda ver!

Resposta

\Delta p_{\min} \approx 5{,}665\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}\approx 56{,}65\\ \mathrm{kPa}

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