Um projétil é disparado, com uma velocidade inicial de 113 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a um ângulo de 60^{\circ} com a horizontal, do topo de um rochedo de 49 m de altura. Em relação ao projétil, calcule a) o tempo para atingir a altura máxima, b) a altura máxima, c) o tempo total de permanência no ar, d) o alcance na horizontal e e) as componentes da velocidade final no instante em que atinge o solo.

Passo 1

O enunciado dá um projétil lançado do topo de um penhasco de altura y_0 = 49 m com velocidade inicial v_0 = 113 m/s num ângulo de 60^\circ acima da horizontal. O conteúdo é movimento projetil sob aceleração da gravidade g=9,8 m/s ^2, vamos precisar: decompor v_0 em componentes, usar as equações cinemáticas para y(t) e x(t), achar tempos e velocidades.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial em eixos horizontais e verticais:
v_{x0} = v_0\cos(60^\circ) = 113 \times \tfrac12 = 56{,}5\\ \text{m/s},
v_{y0} = v_0\sin(60^\circ) = 113 \times \tfrac{\sqrt3}{2} \approx 97{,}86\\ \text{m/s}.

Passo 3

O tempo até a altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade anula, v_y(t_{\max})=0. Usando
v_y(t) = v_{y0} - g\,t,
temos
0 = v_{y0} - g\,t_{\max} \quad\Longrightarrow\quad t_{\max} = \frac{v_{y0}}{g} = \frac{97{,}86}{9{,}8} \approx 9{,}99\\ \text{s}.

Passo 4

A altura máxima absoluta é
y_{\max} = y_0 + v_{y0}\,t_{\max} - \tfrac12 g\,t_{\max}^2.
Substituindo os valores:
y_{\max} = 49 + 97{,}86\,(9{,}99) - 4{,}9\,(9{,}99)^2 \approx 537{,}2\\ \text{m}.

Passo 5

O tempo total no ar é a solução positiva de
y(t)=y_0+v_{y0}t - \tfrac12 g\,t^2 = 0.
Em vez de resolver a quadrática completa, usamos a fórmula
t_{\text{total}} = \frac{v_{y0} + \sqrt{v_{y0}^2 + 2\,g\,y_0}}{g} = \frac{97{,}86 + \sqrt{(97{,}86)^2 + 2\cdot9{,}8\cdot49}}{9{,}8} \approx 20{,}46\\ \text{s}.

Passo 6

O alcance horizontal é
x_{\text{alcance}} = v_{x0}\,t_{\text{total}} = 56{,}5 \times 20{,}46 \approx 1156{,}9\\ \text{m}.

Passo 7

As componentes da velocidade ao atingir o solo t=t_{\text{total}} são
v_x(t_{\text{total}}) = v_{x0} = 56{,}5\\ \text{m/s},
v_y(t_{\text{total}}) = v_{y0} - g\,t_{\text{total}} = 97{,}86 - 9{,}8\times20{,}46 \approx -102{,}6\\ \text{m/s}
(negativa indica direção para baixo).

Resposta

(a) t_{\max}\approx9{,}99 s
(b) y_{\max}\approx537{,}2 m
(c) t_{\text{total}}\approx20{,}46 s
(d) x_{\text{alcance}}\approx1156{,}9 m
(e) v_x\approx56{,}5 m/s, v_y\approx-102{,}6 m/s

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