Quando submetido a uma força propulsora com frequência próxima à natural, um oscilador com amortecimento muito fraco apresenta uma resposta muito maior que o mesmo oscilador com amortecimento mais forte. Quando submetido a uma força propulsora com frequência muito maior ou muito menor do que a natural, qual oscilador apresentará uma resposta maior: (i) aquele com amortecimento muito fraco ou (ii) aquele com amortecimento mais forte?

Passo 1

O enunciado fala de um oscilador massa-mola com amortecimento submetido a uma força harmônica de frequência de excitação \omega. Ele pede para comparar a amplitude de regime permanente
(i) de um oscilador com amortecimento muito fraco ( c pequeno) e
(ii) de outro com amortecimento mais forte ( c maior)
quando \omega está muito abaixo ou muito acima da frequência natural \omega_0. O conteúdo é resposta em frequência de um oscilador amortecido, e vamos usar a fórmula da amplitude em regime forçado.

Passo 2

A amplitude de regime permanente de um oscilador massa-mola amortecido, sujeito a F(t)=F_0\cos(\omega t), é
A(\omega) =\frac{F_0} {\sqrt{\bigl(k - m\,\omega^2\bigr)^2 + \bigl(c\,\omega\bigr)^2}}
onde m é a massa, k a constante elástica e c o coeficiente de amortecimento.

Passo 3

Para \omega\ll\omega_0 (frequência de excitação muito menor que a natural), temos k - m\,\omega^2\approx k e c\,\omega\ll k. Assim
A(\omega)\approx \frac{F_0}{\sqrt{k^2 + (c\,\omega)^2}} \approx \frac{F_0}{k}
que não depende de c. Logo, tanto o oscilador fraco quanto o forte têm praticamente a mesma amplitude F_0/k.

Passo 4

Para \omega\gg\omega_0 (frequência de excitação muito maior que a natural), temos k - m\,\omega^2\approx -\,m\,\omega^2 e |m\,\omega^2|\gg c\,\omega. Então
A(\omega)\approx \frac{F_0}{\sqrt{(m\,\omega^2)^2 + (c\,\omega)^2}} \approx \frac{F_0}{m\,\omega^2}
também independente de c. De novo, ambos os osciladores respondem com praticamente a mesma amplitude F_0/(m\,\omega^2).

Passo 5

Concluímos que, longe da ressonância ( \omega\ll\omega_0 ou \omega\gg\omega_0), o amortecimento tem efeito desprezível na amplitude. Portanto os dois osciladores apresentam praticamente a mesma resposta.

Resposta

Ambos têm praticamente a mesma amplitude de resposta (nenhum dos dois se destaca).

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