Uma sala de concerto retangular tem volume de 17900 \mathrm{~m}^{3}. A área do piso é de 960 \mathrm{~m}^{2}. A relação comprimento:largura é de 5: 3. Se o tempo de reverberação dessa sala for de 2,4 \mathrm{~s}, estime o coeficiente médio de absorção das superfícies que compõe a sala (teto, piso, paredes)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Volume da sala: \displaystyle V=17900\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Área do piso: \displaystyle A_{\text{piso}}=960\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Relação comprimento:largura: \displaystyle L:W=5:3.
  • Tempo de reverberação: \displaystyle T=2,4\\ \mathrm{s}.
Pergunta: estimar o coeficiente médio de absorção das superfícies que compõem a sala (teto, piso, paredes). Todas as quantidades numéricas acima serão usadas na resolução.

Passo 2

Determinar o comprimento \displaystyle L e a largura \displaystyle W da sala a partir da área do piso e da razão \displaystyle L:W.
Escrevo as equações:
L\cdot W = 960
\frac{L}{W}=\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{5}{3}W.
Substituindo \displaystyle L na primeira equação:
\left(\frac{5}{3}W\right)W=960 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{3}W^{2}=960.
Isolando \displaystyle W^{2}:
W^{2}=960\cdot\frac{3}{5}=960\cdot0{,}6=576.
Portanto
W=\sqrt{576}=24\\ \mathrm{m}.
E então
L=\frac{5}{3}W=\frac{5}{3}\cdot24=40\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar a altura \displaystyle H usando o volume \displaystyle V=L\cdot W\cdot H.
Isolando \displaystyle H:
H=\frac{V}{L\cdot W}=\frac{17900}{960}.
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador por 20:
H=\frac{895}{48}\\ \mathrm{m}\approx18{,}645833\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as áreas das superfícies (piso, teto, paredes).
  • Piso: \displaystyle A_{\text{piso}}=960\\ \mathrm{m}^{2} (dado).
  • Teto: igual ao piso: \displaystyle A_{\text{teto}}=960\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Paredes: existem duas paredes de dimensão \displaystyle L\times H e duas de dimensão \displaystyle W\times H. Logo a área total das paredes é
A_{\text{paredes}}=2L H + 2W H = 2(L+W)H.
Como \displaystyle L+W=40+24=64, temos
A_{\text{paredes}}=2\cdot64\cdot H=128H.
Substituindo \displaystyle H=\dfrac{895}{48}:
A_{\text{paredes}}=128\cdot\frac{895}{48}=\frac{128}{48}\cdot895=\frac{8}{3}\cdot895=\frac{7160}{3}\\ \mathrm{m}^{2}\approx2386{,}6667\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Calcular a área total das superfícies que contribuem para absorção sonora, \displaystyle S (piso + teto + paredes):
S=A_{\text{piso}}+A_{\text{teto}}+A_{\text{paredes}}=960+960+\frac{7160}{3}=\frac{12920}{3}\\ \mathrm{m}^{2}.
Valor decimal:
S\approx4306{,}6667\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Apresentar a fórmula de Sabine e explicar o que cada termo significa.
A fórmula de Sabine (usada para estimar tempo de reverberação em salas relativamente simples) é
T = 0{,}161\,\frac{V}{A},
onde:
  • \displaystyle T é o tempo de reverberação (em segundos).
  • \displaystyle V é o volume da sala (em metros cúbicos).
  • \displaystyle A é a absorção total em sabins (unidade adimensional equivalente à área efetiva absorvente).
  • A constante 0{,}161 aparece nas unidades SI (segundos, metros) e é obtida a partir da velocidade do som e fórmula derivada de Sabine — para nossos cálculos a usamos como dada.
A absorção total \displaystyle A pode ser escrita como
A = S\bar{\alpha},
onde \displaystyle S é a área total das superfícies (em \mathrm{m}^{2}) e \displaystyle \bar{\alpha} é o coeficiente médio de absorção (valor adimensional entre 0 e 1) que queremos estimar.
Assim, isolando \displaystyle \bar{\alpha}:
\bar{\alpha} = \frac{0{,}161\,V}{S\,T}.

Passo 7

Substituir os valores conhecidos na expressão para \displaystyle \bar{\alpha} e calcular passo a passo.
Primeiro o numerador:
0{,}161\cdot V = 0{,}161\cdot17900=2881{,}9.
Depois o denominador S\cdot T. Usando S=\dfrac{12920}{3} e T=2{,}4:
S\cdot T=\frac{12920}{3}\cdot2{,}4=\frac{12920\cdot2{,}4}{3}.
Calculo intermediário: 12920\cdot2{,}4=31008, então
S\cdot T=\frac{31008}{3}=10336.
Agora a divisão:
\bar{\alpha}=\frac{2881{,}9}{10336}\approx0{,}27882\ldots

Passo 8

Arredondamento e interpretação.
Arredondando razoavelmente (três casas decimais) obtemos
\bar{\alpha}\approx0{,}279.
Isto significa que, em média, cada metro quadrado da superfície da sala absorve cerca de 27{,}9\% da energia sonora incidente — valor que corresponde a uma sala com absorção moderada (nem muito reverberante, nem muito “seca”). Isso é um resultado típico para salas grandes com revestimentos mistos.

Resposta

\bar{\alpha}\approx0{,}279

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