Uma sala vai ser usada para cinema. As dimensões dessa sala são 35 m de comprimento, 23 m de largura e 12 m de altura…A sala tem duas portas,cada uma com 2,70 \mathrm{~m} de largura e 2 m de altura, cujo coeficiente de absorção é de 0,15 . O teto é revestido por um material acústico cujo coeficiente de absorção é de 0,84 . As paredes são revestidas de material cujo coeficiente de absorção é de 0,57 . O piso é de carpete cujo coeficiente de absorção é de 0,44 . A tela de projeção ocupa uma das paredes de menor área e mede 5 m de altura e 12 m de comprimento e tem coeficiente de absorção de 0,25 . A capacidade do cinema é de 450 pessoas e o coeficiente de absorção sonora das cadeiras é de 0,27 Calcule o tempo de reverberação da sala de cinema. (Adote a equação de Sabine e despreze a absorção do ar).

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que temos):
  • Dimensões da sala: comprimento =35\\ \mathrm{m}, largura =23\\ \mathrm{m}, altura =12\\ \mathrm{m}.
  • Duas portas, cada uma com largura =2,70\\ \mathrm{m} e altura =2\\ \mathrm{m}; coeficiente de absorção das portas =\;0,15.
  • Teto revestido com coeficiente de absorção =\;0,84.
  • Paredes revestidas com coeficiente de absorção =\;0,57.
  • Piso de carpete com coeficiente de absorção =\;0,44.
  • Tela de projeção: ocupa uma das paredes menores, mede altura =5\\ \mathrm{m} e comprimento =12\\ \mathrm{m}; coeficiente de absorção da tela =\;0,25.
  • Capacidade: 450 pessoas; coeficiente de absorção sonora das cadeiras =\;0,27 (assume-se que esse valor é por cadeira/pessoa).
  • Pedido: calcular o tempo de reverberação da sala, adotando a equação de Sabine e desprezando a absorção do ar.

Passo 2

Calcular o volume da sala V. Volume é produto de comprimento, largura e altura:
V = 35 \cdot 23 \cdot 12.
Calculemos:
23 \cdot 12 = 276,\quad 276 \cdot 35 = 9660.
Logo
V = 9660\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

Calcular a área do piso e do teto (são iguais): área planificada do piso/teto é comprimento \times largura:
S_{\text{piso}} = S_{\text{teto}} = 35 \cdot 23 = 805\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Calcular a área total das paredes (4 faces). Duas paredes grandes (comprimento 35) e duas paredes menores (comprimento 23), todas com altura 12:
S_{\text{paredes, total}} = 2\cdot(35\cdot 12) + 2\cdot(23\cdot 12).
Calculemos:
35\cdot 12 = 420,\quad 23\cdot 12 = 276,
S_{\text{paredes, total}} = 2\cdot 420 + 2\cdot 276 = 840 + 552 = 1392\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Calcular áreas da(s) porta(s) e da tela para tratá-las separadamente (pois substituem parte da área das paredes):
  • Área de uma porta: 2,70 \cdot 2 = 5,4\\ \mathrm{m^2}. Como há duas portas:
S_{\text{portas}} = 2 \cdot 5,4 = 10,8\\ \mathrm{m^2}.
  • Área da tela:
S_{\text{tela}} = 5 \cdot 12 = 60\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Ajustar a área das paredes que permanecem revestidas com o material de coeficiente 0,57: subtraímos da área total das paredes a área ocupada pela(s) porta(s) e pela tela (essas áreas têm coeficientes próprios).
S_{\text{paredes, restantes}} = S_{\text{paredes, total}} - S_{\text{tela}} - S_{\text{portas}}.
Substituindo:
S_{\text{paredes, restantes}} = 1392 - 60 - 10,8 = 1321,2\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Calcular a contribuição em sabins (área equivalente de absorção) de cada superfície: sabins de uma superfície é S \cdot \alpha, onde S é a área em \mathrm{m^2} e \alpha é o coeficiente de absorção (adotamos a equação de Sabine). Vamos listar cada termo.
  • Piso (carpete): S_{\text{piso}} = 805\\ \mathrm{m^2}, \alpha_{\text{piso}} = 0,44.
A_{\text{piso}} = 805 \cdot 0,44 = 354,2\\ \text{sabins}.
  • Teto (material acústico): S_{\text{teto}} = 805\\ \mathrm{m^2}, \alpha_{\text{teto}} = 0,84.
A_{\text{teto}} = 805 \cdot 0,84 = 676,2\\ \text{sabins}.
  • Paredes restantes (revestimento, \alpha=0,57): S_{\text{paredes, restantes}} = 1321,2\\ \mathrm{m^2}.
A_{\text{paredes}} = 1321,2 \cdot 0,57 = 753,084\\ \text{sabins}.
  • Portas: S_{\text{portas}} = 10,8\\ \mathrm{m^2}, \alpha_{\text{portas}} = 0,15.
A_{\text{portas}} = 10,8 \cdot 0,15 = 1,62\\ \text{sabins}.
  • Tela: S_{\text{tela}} = 60\\ \mathrm{m^2}, \alpha_{\text{tela}} = 0,25.
A_{\text{tela}} = 60 \cdot 0,25 = 15\\ \text{sabins}.
  • Cadeiras (pessoas sentadas): para 450 lugares com absorção por cadeira =0,27:
A_{\text{cadeiras}} = 450 \cdot 0,27 = 121,5\\ \text{sabins}.

Passo 8

Somar todas as contribuições para obter a área de absorção total equivalente A (em sabins):
A = A_{\text{piso}} + A_{\text{teto}} + A_{\text{paredes}} + A_{\text{portas}} + A_{\text{tela}} + A_{\text{cadeiras}}.
Substituindo os valores:
A = 354,2 + 676,2 + 753,084 + 1,62 + 15 + 121,5 = 1921,604\\ \text{sabins}.

Passo 9

Apresentar a equação de Sabine e explicar as variáveis (mini-aula):
  • A equação de Sabine para o tempo de reverberação T é
T = \frac{0,161\,V}{A}.
Onde:
  • T é o tempo de reverberação em segundos.
  • V é o volume da sala em \mathrm{m^3}.
  • A é a área de absorção equivalente total em sabins (em \mathrm{m^2} equivalentes).
  • O fator 0,161 é a constante empírica (valor usado em unidades métricas).
    Explicação rápida: A representa a soma das áreas físicas multiplicadas pelos seus coeficientes de absorção; quanto maior A, mais energia sonora é absorvida e menor o tempo de reverberação.

Passo 10

Calcular numericamente o tempo de reverberação usando V = 9660\\ \mathrm{m^3} e A = 1921,604\\ \text{sabins}:
Primeiro o numerador:
0,161\cdot V = 0,161 \cdot 9660 = 1555,26.
Agora dividir:
T = \frac{1555,26}{1921,604} \approx 0,809\\ \mathrm{s}.
Arredondando com razoável precisão para duas casas decimais:
T \approx 0,81\\ \mathrm{s}.

Resposta

T \approx 0,81\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados