Em uma sala encontram-se reunidas n pessoas. Determinar a probabilidade de que nesse grupo não existam pessoas com data (dia e mês) de aniversário iguais. Sugestão: comece fazendo algumas hipóteses simplificadoras.
Como primeira hipótese, considere-se que não há anos bissextos, ou seja que todos os anos têm 365 dias.
Complementarmente, para efeito de data de nascimento, suponha-se que todos os dias do ano são equivalentes, isto é todos são igualmente prováveis.
Nessas condições, tem-se a seguinte solução.
Como primeira hipótese, considere-se que não há anos bissextos, ou seja que todos os anos têm 365 dias.
Complementarmente, para efeito de data de nascimento, suponha-se que todos os dias do ano são equivalentes, isto é todos são igualmente prováveis.
Nessas condições, tem-se a seguinte solução.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que numa sala tem n pessoas e a gente quer saber a chance de nenhuma delas fazer aniversário no mesmo dia (dia + mês). A matéria aqui é probabilidade com uma pegada de contagem de casos (combinatória). Pra resolver, vamos assumir que:
- Todo ano tem 365 dias;
- Cada dia é igualmente provável para o aniversário de alguém;
- Os aniversários de pessoas diferentes são “eventos independentes”.
Passo 2
Primeiro, explica teoria rápida: quando a gente quer a probabilidade de vários eventos independentes acontecerem juntos, a gente multiplica as probabilidades de cada um.
- A probabilidade da 1ª pessoa fazer aniversário em qualquer dia é
- Agora, para a 2ª pessoa não cair no mesmo dia da 1ª, ela tem 364 dias “livres” de 365, então
Passo 3
Seguindo a mesma ideia, a 3ª pessoa não pode cair nos dias da 1ª nem da 2ª, restam 363 dias livres:
Em geral, para a k‐ésima pessoa, já ocuparam (k–1) dias, então sobram
dias livres. A prob. de nenhum conflito até a k‐ésima pessoa é
Como todos esses eventos são independentes, a probabilidade de ninguém compartilhar data de aniversário entre as n pessoas é o produto
Passo 4
Escrevendo esse produto de forma compacta a gente tem:
Resposta
A probabilidade de que, num grupo de
pessoas, nenhuma tenha aniversário no mesmo dia é