Em uma sala encontram-se reunidas n pessoas. Determinar a probabilidade de que nesse grupo não existam pessoas com data (dia e mês) de aniversário iguais. Sugestão: comece fazendo algumas hipóteses simplificadoras.
Como primeira hipótese, considere-se que não há anos bissextos, ou seja que todos os anos têm 365 dias.
Complementarmente, para efeito de data de nascimento, suponha-se que todos os dias do ano são equivalentes, isto é todos são igualmente prováveis.
Nessas condições, tem-se a seguinte solução.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que numa sala tem n pessoas e a gente quer saber a chance de nenhuma delas fazer aniversário no mesmo dia (dia + mês). A matéria aqui é probabilidade com uma pegada de contagem de casos (combinatória). Pra resolver, vamos assumir que:
  1. Todo ano tem 365 dias;
  2. Cada dia é igualmente provável para o aniversário de alguém;
  3. Os aniversários de pessoas diferentes são “eventos independentes”.

Passo 2

Primeiro, explica teoria rápida: quando a gente quer a probabilidade de vários eventos independentes acontecerem juntos, a gente multiplica as probabilidades de cada um.
  • A probabilidade da 1ª pessoa fazer aniversário em qualquer dia é P1 = 365365 = 1
  • Agora, para a 2ª pessoa não cair no mesmo dia da 1ª, ela tem 364 dias “livres” de 365, então P2 = 364365

Passo 3

Seguindo a mesma ideia, a 3ª pessoa não pode cair nos dias da 1ª nem da 2ª, restam 363 dias livres:
P3 = 363365
Em geral, para a k‐ésima pessoa, já ocuparam (k–1) dias, então sobram Pk = 365 - (k-1)365 dias livres. A prob. de nenhum conflito até a k‐ésima pessoa é
P(n) = P1 times P2 times cdots times Pn
Como todos esses eventos são independentes, a probabilidade de ninguém compartilhar data de aniversário entre as n pessoas é o produto

Passo 4

Escrevendo esse produto de forma compacta a gente tem:
P(n) = 365365 times 364365 times 363365 times cdots times 365 - (n-1)365 = 365 times 364 times cdots times (365 - n + 1)365^n

Resposta

A probabilidade de que, num grupo de boxedP(n) ;=; 365 times 364 times 363 times cdots times (365 - n + 1)365^n pessoas, nenhuma tenha aniversário no mesmo dia é

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