Tem-se n comprimidos de substâncias distintas, solúveis em água e incapazes de reagir entre si. Quantas soluções distintas
podem ser obtidas dissolvendo-se um ou mais desses comprimidos em um copo com água?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: existem \,n\, comprimidos, todos de substâncias distintas, solúveis em água e que não reagem entre si.
  • Informação: em cada experimento dissolve-se no copo com água um ou mais desses comprimidos (ou seja, não é permitido dissolver zero comprimidos).
  • Pergunta: quantas soluções distintas podem ser obtidas obedecendo a essas condições?

Passo 2

Modelagem do problema (tradução para uma contagem combinatória simples).
  • Cada comprimido é distinto: isso significa que o que diferencia duas soluções é exatamente quais comprimidos foram colocados na água.
  • Para cada comprimido temos duas possibilidades na preparação de uma solução: ou ele é dissolvido no copo, ou ele não é dissolvido.
  • Como há \,n\, comprimidos independentes entre si, podemos pensar numa sequência de decisões “sim/não” de comprimento \,n\,, onde cada sequência representa uma solução (o conjunto dos comprimidos dissolvidos).

Passo 3

Aplicando a regra do produto (princípio fundamental da contagem).
  • A regra do produto diz que, se há a maneiras de tomar a primeira decisão, e para cada escolha dessas há b maneiras de tomar a segunda decisão, então há a\cdot b maneiras de fazer as duas decisões juntas.
  • Aqui, para cada comprimido há 2 maneiras (dissolver ou não). Com \,n\, comprimidos independentes, o número total de combinações possíveis de escolhas é
2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2 \quad(\text{\(n\) fatores}) = 2^{n}.
  • Esse 2^{n} conta todas as escolhas, inclusive a escolha em que nenhum comprimido é dissolvido (todas as decisões “não”).

Passo 4

Excluir a escolha proibida (pelo enunciado é obrigatório dissolver ao menos um comprimido).
  • O enunciado exige “um ou mais” comprimidos, então devemos retirar da contagem a combinação em que nenhum comprimido é dissolvido (o conjunto vazio).
  • Há exatamente 1 maneira de não dissolver nenhum comprimido (todas as decisões “não”).
  • Portanto, o número de soluções válidas é
2^{n}-1.

Passo 5

Interpretação alternativa via somatório de combinações (opção útil para provas).
  • Podemos contar separando por quantos comprimidos são dissolvidos: escolher exatamente k comprimidos para dissolver pode ser feito de \binom{n}{k} maneiras, onde
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
representa o número de subconjuntos de tamanho k de um conjunto de n elementos.
  • Somando para todos os tamanhos possíveis k=1,2,\dots,n obtemos
\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.
  • Pela identidade do binômio temos \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}. Subtraindo o termo \binom{n}{0}=1 (o subconjunto vazio) obtemos novamente
\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}-1.

Passo 6

Exemplos pequenos para fixar a ideia (prático para a prova rápida).
  • Se \,n=1\,: as soluções possíveis são dissolver o comprimido ou não; como é preciso dissolver ao menos um, há 2^{1}-1=1 solução (apenas dissolver o comprimido).
  • Se \,n=2\,: subconjuntos não vazios de \{A,B\} são \{A\},\{B\},\{A,B\}, total 2^{2}-1=3.
  • Se \,n=3\,: há 2^{3}-1=7 soluções (três escolhas de 1 comprimido, três escolhas de 2 comprimidos e uma escolha de 3 comprimidos: 3+3+1=7).

Passo 7

Conclusão final e dica rápida para prova.
  • Método curto e seguro para prova: pense em cada comprimido como uma escolha binária (presente/ausente), conte 2^{n} escolhas totais e subtraia a escolha vazia. Isso é rápido de justificar e de escrever em prova.
  • Portanto a resposta é \,2^{n}-1\,.

Resposta

2^{n}-1

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