Tem-se n comprimidos de substâncias distintas, solúveis em água e incapazes de reagir entre si. Quantas soluções distintas
podem ser obtidas dissolvendo-se um ou mais desses comprimidos em um copo com água?
podem ser obtidas dissolvendo-se um ou mais desses comprimidos em um copo com água?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: existem
comprimidos, todos de substâncias distintas, solúveis em água e que não reagem entre si. - Informação: em cada experimento dissolve-se no copo com água um ou mais desses comprimidos (ou seja, não é permitido dissolver zero comprimidos).
- Pergunta: quantas soluções distintas podem ser obtidas obedecendo a essas condições?
Passo 2
Modelagem do problema (tradução para uma contagem combinatória simples).
- Cada comprimido é distinto: isso significa que o que diferencia duas soluções é exatamente quais comprimidos foram colocados na água.
- Para cada comprimido temos duas possibilidades na preparação de uma solução: ou ele é dissolvido no copo, ou ele não é dissolvido.
- Como há
comprimidos independentes entre si, podemos pensar numa sequência de decisões “sim/não” de comprimento , onde cada sequência representa uma solução (o conjunto dos comprimidos dissolvidos).
Passo 3
Aplicando a regra do produto (princípio fundamental da contagem).
- A regra do produto diz que, se há
maneiras de tomar a primeira decisão, e para cada escolha dessas há maneiras de tomar a segunda decisão, então há maneiras de fazer as duas decisões juntas. - Aqui, para cada comprimido há
maneiras (dissolver ou não). Com comprimidos independentes, o número total de combinações possíveis de escolhas é
- Esse
conta todas as escolhas, inclusive a escolha em que nenhum comprimido é dissolvido (todas as decisões “não”).
Passo 4
Excluir a escolha proibida (pelo enunciado é obrigatório dissolver ao menos um comprimido).
- O enunciado exige “um ou mais” comprimidos, então devemos retirar da contagem a combinação em que nenhum comprimido é dissolvido (o conjunto vazio).
- Há exatamente
maneira de não dissolver nenhum comprimido (todas as decisões “não”). - Portanto, o número de soluções válidas é
Passo 5
Interpretação alternativa via somatório de combinações (opção útil para provas).
- Podemos contar separando por quantos comprimidos são dissolvidos: escolher exatamente
comprimidos para dissolver pode ser feito de maneiras, onde
representa o número de subconjuntos de tamanho
de um conjunto de
elementos.
- Somando para todos os tamanhos possíveis
obtemos
- Pela identidade do binômio temos
. Subtraindo o termo (o subconjunto vazio) obtemos novamente
Passo 6
Exemplos pequenos para fixar a ideia (prático para a prova rápida).
- Se
: as soluções possíveis são dissolver o comprimido ou não; como é preciso dissolver ao menos um, há solução (apenas dissolver o comprimido). - Se
: subconjuntos não vazios de são , total . - Se
: há soluções (três escolhas de 1 comprimido, três escolhas de 2 comprimidos e uma escolha de 3 comprimidos: ).
Passo 7
Conclusão final e dica rápida para prova.
- Método curto e seguro para prova: pense em cada comprimido como uma escolha binária (presente/ausente), conte
escolhas totais e subtraia a escolha vazia. Isso é rápido de justificar e de escrever em prova. - Portanto a resposta é
.