Quantos inteiros entre 1 e 1000 inclusive:
são divisíveis por exatamente um dos números
e 10 ?
são divisíveis por exatamente um dos números
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos inteiros entre
e
(inclusive) são divisíveis por exatamente um dos números
.
Informações dadas (explicitadas):
- Intervalo: todos os inteiros
tais que . - Conjunto de divisores de interesse:
. - Queremos os inteiros que são divisíveis por exatamente um desses quatro — isto é, divisíveis por um deles e por nenhum dos outros três.
Passo 2
Estratégia escolhida e porquê (sem termos técnicos complexos): modelamos cada condição “ser divisível por
” como um conjunto de números. Denotando
queremos contar quantos elementos pertencem a exatamente um desses conjuntos.
Há uma fórmula prática (próxima do princípio da inclusão-exclusão) para o número de elementos que pertencem a exatamente um dentre vários conjuntos: para quatro conjuntos,
Breve justificativa intuitiva: um elemento que está em exatamente
conjuntos contribui com um total que, por essa combinação de coeficientes, vale
se
e
se
. Portanto a fórmula isola quem está em exatamente um conjunto.
Passo 3
Como contar
e interseções? Regra prática:
- O número de múltiplos de um inteiro
em é . - A interseção
corresponde a múltiplos do (mínimo múltiplo comum); para três conjuntos usamos , etc.
Vou calcular todas essas quantidades (singles, pares, triplos e o quádruplo).
Passo 4
Contagem dos múltiplos individuais (singles):
Somando:
Passo 5
Contagem das interseções par a par (usando
e a regra do piso):
Calcular lcm e depois .
Calcular lcm e depois
Somando pares:
Passo 6
Contagem das interseções de três e de quatro conjuntos:
Triplas:
Triplas:
Somando os triplos:
Quádrupla (todos os quatro):
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula para “exatamente um”:
Substituindo os valores calculados:
Calcule passo a passo:
Passo 8
Verificação rápida (interpretativa): a conta dá
. Nota: todos os múltiplos de
também são múltiplos de
, por isso não existem números que sejam “divisíveis só por
” e não por
; isso aparece corretamente no cálculo (a parcela correspondente a
sozinho fica zerada quando se faz a decomposição por conjuntos).
Resposta
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