Quantos inteiros entre 1 e 1000 inclusive:
são divisíveis por exatamente um dos números 2,3,7 e 10 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos inteiros entre 1 e 1000 (inclusive) são divisíveis por exatamente um dos números 2,3,7,10.
Informações dadas (explicitadas):
  • Intervalo: todos os inteiros n tais que 1 \le n \le 1000.
  • Conjunto de divisores de interesse: \{2,3,7,10\}.
  • Queremos os inteiros que são divisíveis por exatamente um desses quatro — isto é, divisíveis por um deles e por nenhum dos outros três.

Passo 2

Estratégia escolhida e porquê (sem termos técnicos complexos): modelamos cada condição “ser divisível por k” como um conjunto de números. Denotando
A_2=\{n:2\mid n\},\quad A_3=\{n:3\mid n\},\quad A_7=\{n:7\mid n\},\quad A_{10}=\{n:10\mid n\},
queremos contar quantos elementos pertencem a exatamente um desses conjuntos.
Há uma fórmula prática (próxima do princípio da inclusão-exclusão) para o número de elementos que pertencem a exatamente um dentre vários conjuntos: para quatro conjuntos,
\text{exatamente-um}=\sum_i |A_i| - 2\sum_{i<j} |A_i\cap A_j| + 3\sum_{i<j<k} |A_i\cap A_j\cap A_k| - 4|A_2\cap A_3\cap A_7\cap A_{10}|.
Breve justificativa intuitiva: um elemento que está em exatamente r conjuntos contribui com um total que, por essa combinação de coeficientes, vale 1 se r=1 e 0 se r\ge2. Portanto a fórmula isola quem está em exatamente um conjunto.

Passo 3

Como contar |A_k| e interseções? Regra prática:
  • O número de múltiplos de um inteiro m em \{1,\dots,1000\} é \left\lfloor\dfrac{1000}{m}\right\rfloor.
  • A interseção A_i\cap A_j corresponde a múltiplos do \mathrm{lcm}(i,j) (mínimo múltiplo comum); para três conjuntos usamos \mathrm{lcm}(i,j,k), etc.
Vou calcular todas essas quantidades (singles, pares, triplos e o quádruplo).

Passo 4

Contagem dos múltiplos individuais (singles):
|A_2|=\left\lfloor\dfrac{1000}{2}\right\rfloor=500,
|A_3|=\left\lfloor\dfrac{1000}{3}\right\rfloor=333,
|A_7|=\left\lfloor\dfrac{1000}{7}\right\rfloor=142,
|A_{10}|=\left\lfloor\dfrac{1000}{10}\right\rfloor=100.
Somando:
\sum_i |A_i| = 500+333+142+100 = 1075.

Passo 5

Contagem das interseções par a par (usando \mathrm{lcm} e a regra do piso):
Calcular lcm e depois \left\lfloor 1000/\text{lcm}\right\rfloor.
\mathrm{lcm}(2,3)=6,\quad |A_2\cap A_3|=\left\lfloor\dfrac{1000}{6}\right\rfloor=166.
\mathrm{lcm}(2,7)=14,\quad |A_2\cap A_7|=\left\lfloor\dfrac{1000}{14}\right\rfloor=71.
\mathrm{lcm}(2,10)=10,\quad |A_2\cap A_{10}|=\left\lfloor\dfrac{1000}{10}\right\rfloor=100.
\mathrm{lcm}(3,7)=21,\quad |A_3\cap A_7|=\left\lfloor\dfrac{1000}{21}\right\rfloor=47.
\mathrm{lcm}(3,10)=30,\quad |A_3\cap A_{10}|=\left\lfloor\dfrac{1000}{30}\right\rfloor=33.
\mathrm{lcm}(7,10)=70,\quad |A_7\cap A_{10}|=\left\lfloor\dfrac{1000}{70}\right\rfloor=14.
Somando pares:
\sum_{i<j} |A_i\cap A_j|=166+71+100+47+33+14=431.

Passo 6

Contagem das interseções de três e de quatro conjuntos:
Triplas:
\mathrm{lcm}(2,3,7)=42,\quad |A_2\cap A_3\cap A_7|=\left\lfloor\dfrac{1000}{42}\right\rfloor=23.
\mathrm{lcm}(2,3,10)=30,\quad |A_2\cap A_3\cap A_{10}|=\left\lfloor\dfrac{1000}{30}\right\rfloor=33.
\mathrm{lcm}(2,7,10)=70,\quad |A_2\cap A_7\cap A_{10}|=\left\lfloor\dfrac{1000}{70}\right\rfloor=14.
\mathrm{lcm}(3,7,10)=210,\quad |A_3\cap A_7\cap A_{10}|=\left\lfloor\dfrac{1000}{210}\right\rfloor=4.
Somando os triplos:
\sum_{i<j<k} |A_i\cap A_j\cap A_k| = 23+33+14+4 = 74.
Quádrupla (todos os quatro):
\mathrm{lcm}(2,3,7,10)=210,\quad |A_2\cap A_3\cap A_7\cap A_{10}|=\left\lfloor\dfrac{1000}{210}\right\rfloor=4.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula para “exatamente um”:
\text{exatamente-um} = \sum_i |A_i| - 2\sum_{i<j}|A_i\cap A_j| + 3\sum_{i<j<k}|A_i\cap A_j\cap A_k| - 4|A_2\cap A_3\cap A_7\cap A_{10}|.
Substituindo os valores calculados:
\text{exatamente-um}=1075 - 2\cdot 431 + 3\cdot 74 - 4\cdot 4.
Calcule passo a passo:
1075 - 862 = 213,
213 + 222 = 435,
435 - 16 = 419.

Passo 8

Verificação rápida (interpretativa): a conta dá 419. Nota: todos os múltiplos de 10 também são múltiplos de 2, por isso não existem números que sejam “divisíveis só por 10” e não por 2; isso aparece corretamente no cálculo (a parcela correspondente a 10 sozinho fica zerada quando se faz a decomposição por conjuntos).

Resposta

419

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