Uma sala tem dimensões 2 m (altura) \times 3 \mathrm{~m} (largura) \times 6 \mathrm{~m} (comprimento). Uma mosca atravessa a sala de um canto ao canto diagonalmente oposto. Qual é o modulo de seu deslocamento?

Passo 1

O enunciado pede o módulo do deslocamento da mosca que vai de um canto da sala até o canto diagonalmente oposto. Informações dadas:
  • Altura: \,2\\ \mathrm{m}.
  • Largura: \,3\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento: \,6\\ \mathrm{m}.
    A tarefa é calcular a distância em linha reta entre esses dois cantos (o comprimento do vetor deslocamento).

Passo 2

Vamos representar a sala num sistema de coordenadas 3D simples: coloque a origem no canto onde a mosca começa e alinhe os eixos com as arestas da sala. Assim as coordenadas do canto inicial são (0,0,0) e as do canto oposto são (6,3,2), tomando
x=6\\ \mathrm{m},\quad y=3\\ \mathrm{m},\quad z=2\\ \mathrm{m}.
O vetor deslocamento \vec{d} tem componentes iguais às diferenças entre as coordenadas finais e iniciais, ou seja
\vec{d} = (6,3,2).
Explicação didática: cada componente do vetor indica quanto a mosca se moveu em cada direção (comprimento, largura e altura). Para achar o tamanho do deslocamento precisamos achar a norma (módulo) desse vetor.

Passo 3

Relembrando o Teorema de Pitágoras em 2D (aquela base que usamos sempre): se temos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos \,a e \,b, a hipotenusa tem comprimento
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Aplicando isso primeiro no piso da sala (projeção no plano xy): a diagonal do retângulo de lados \,6\\ \mathrm{m} e \,3\\ \mathrm{m} vale
d_{\text{base}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}.
Comentário: \sqrt{45} é a distância em linha reta entre dois cantos opostos do retângulo do piso.

Passo 4

Agora subimos para 3D: a diagonal espacial da sala pode ser vista como a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo um cateto é a diagonal do piso \,d_{\text{base}} e o outro cateto é a altura \,2\\ \mathrm{m}. Aplicando Pitágoras de novo:
\text{módulo}(\vec{d})=\sqrt{d_{\text{base}}^{2}+2^{2}}.ó
Substituindo d_{\text{base}}^{2} = 45 (do passo anterior) temos
\text{módulo}(\vec{d})=\sqrt{45+2^{2}}=\sqrt{45+4}=\sqrt{49}.ó
Rápida explicação da fórmula geral: para um vetor \,(x,y,z) o módulo é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Aqui \sqrt{6^{2}+3^{2}+2^{2}}=\sqrt{49}.

Passo 5

Chegamos à forma simplificada do módulo do deslocamento:
\text{módulo}(\vec{d})=\sqrt{49}.ó
Você já fez todo o raciocínio correto — falta só simplificar essa raiz.

Resposta

7 m

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