(1,5) 1) Salcube \int_{|z-1|=\frac{5}{2}} \frac{e^{3 i z}}{\pi+3 z} d z
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha complexa na circunferência |z-1|=\dfrac{5}{2} da função \dfrac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}. As informações dadas:
A curva é o círculo centrado em 1 e de raio \dfrac{5}{2}.
A integranda é \dfrac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}.
Não foi informada a orientação; por convenção em integrais complexas fechadas toma-se a orientação positiva (sentido anti-horário).
A tarefa é calcular
\int_{|z-1|=\frac{5}{2}} \frac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}\,dz.
Passo 2
Qual método usar? Uma observação simples: o numerador e^{3 i z} é uma função inteira (sem singularidades) e o denominador \pi+3z anula-se em pontos isolados; isso sugere usar o Teorema dos Resíduos, que é a ferramenta natural para integrar funções racionais multiplicadas por funções inteiras sobre curvas fechadas. O Teorema dos Resíduos diz, para uma curva fechada simples e positivamente orientada \Gamma,
\int_{\Gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f; z_k),
onde a soma é feita sobre os polos z_k de f que estão dentro de \Gamma. Vamos aplicar esse teorema.
Passo 3
Encontrar singularidades da integranda. A integranda é
f(z)=\frac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}.
As singularidades ocorrem quando o denominador é zero:
Não há outras singularidades (exponencial é inteira). Portanto há um único polo possível em z_0=-\dfrac{\pi}{3}. Resta verificar se esse polo está dentro do círculo |z-1|=\dfrac{5}{2}.
Passo 4
Verificar se z_0 está dentro da curva. Distância do centro 1 até z_0:
O raio do círculo é \dfrac{5}{2}=2{,}5. Como 2{,}0472<2{,}5, o ponto z_0=-\dfrac{\pi}{3} está estritamente dentro da curva. Conclusão: dentro da curva há exatamente um polo simples em z_0.
Passo 5
Calcular o resíduo em z_0. Para um polo simples dado por uma raiz simples do denominador g(z)=\pi+3z, o resíduo de f(z)=\dfrac{h(z)}{g(z)} em z_0 é