(1,5) 1) Salcube \int_{|z-1|=\frac{5}{2}} \frac{e^{3 i z}}{\pi+3 z} d z

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha complexa na circunferência |z-1|=\dfrac{5}{2} da função \dfrac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}. As informações dadas:
  • A curva é o círculo centrado em 1 e de raio \dfrac{5}{2}.
  • A integranda é \dfrac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}.
  • Não foi informada a orientação; por convenção em integrais complexas fechadas toma-se a orientação positiva (sentido anti-horário).
    A tarefa é calcular
\int_{|z-1|=\frac{5}{2}} \frac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}\,dz.

Passo 2

Qual método usar? Uma observação simples: o numerador e^{3 i z} é uma função inteira (sem singularidades) e o denominador \pi+3z anula-se em pontos isolados; isso sugere usar o Teorema dos Resíduos, que é a ferramenta natural para integrar funções racionais multiplicadas por funções inteiras sobre curvas fechadas. O Teorema dos Resíduos diz, para uma curva fechada simples e positivamente orientada \Gamma,
\int_{\Gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f; z_k),
onde a soma é feita sobre os polos z_k de f que estão dentro de \Gamma. Vamos aplicar esse teorema.

Passo 3

Encontrar singularidades da integranda. A integranda é
f(z)=\frac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}.
As singularidades ocorrem quando o denominador é zero:
\pi+3 z=0 \quad\Longrightarrow\quad z_0=-\frac{\pi}{3}.
Não há outras singularidades (exponencial é inteira). Portanto há um único polo possível em z_0=-\dfrac{\pi}{3}. Resta verificar se esse polo está dentro do círculo |z-1|=\dfrac{5}{2}.

Passo 4

Verificar se z_0 está dentro da curva. Distância do centro 1 até z_0:
|z_0-1|=\left|-\frac{\pi}{3}-1\right|=\frac{\pi}{3}+1.
Usando \pi\approx 3{,}1416 temos \dfrac{\pi}{3}\approx 1{,}0472, portanto
|z_0-1|\approx 1{,}0472+1=2{,}0472.
O raio do círculo é \dfrac{5}{2}=2{,}5. Como 2{,}0472<2{,}5, o ponto z_0=-\dfrac{\pi}{3} está estritamente dentro da curva. Conclusão: dentro da curva há exatamente um polo simples em z_0.

Passo 5

Calcular o resíduo em z_0. Para um polo simples dado por uma raiz simples do denominador g(z)=\pi+3z, o resíduo de f(z)=\dfrac{h(z)}{g(z)} em z_0 é
\operatorname{Res}(f; z_0)=\frac{h(z_0)}{g'(z_0)},
onde h(z)=e^{3 i z} e g'(z)=3. Aplicando em z_0=-\dfrac{\pi}{3}:
\operatorname{Res}\!\left(f; -\frac{\pi}{3}\right)=\frac{e^{3 i \left(-\frac{\pi}{3}\right)}}{3}=\frac{e^{-i\pi}}{3}.
Sabendo que e^{-i\pi}=\cos(-\pi)+i\sin(-\pi)=-1, obtemos
\operatorname{Res}\!\left(f; -\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{3}.

Passo 6

Aplicar o Teorema dos Resíduos. Como há um único polo dentro da curva, a integral vale
\int_{|z-1|=\frac{5}{2}} \frac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}\,dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}\!\left(f; -\frac{\pi}{3}\right).
Substituindo o resíduo encontrado:
\int_{|z-1|=\frac{5}{2}} \frac{e^{3 i z}}{\pi+3 z}\,dz = 2\pi i \cdot\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2\pi i}{3}.

Resposta

-\dfrac{2\pi i}{3}

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