Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Foi dada a função temporal
, definida para . - A pergunta é: calcular a transformada de Laplace de
, isto é, encontrar .
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função
definida em
,
sempre que a integral convergir. Aqui vamos aplicar essa definição primeiro a
e depois usar uma propriedade de deslocamento exponencial (teorema do deslocamento).
Passo 3
Calcular
por integração por partes (duas vezes). Começando por
Fazer integração por partes com
e
. Então
e
. Assim
Avaliar o termo de fronteira: para
tem-se
e no zero o termo anula; portanto o colchete vale
. Resta
Passo 4
Calcular
por outra integração por partes: tome
,
, então
e
. Assim
Novamente o termo de fronteira é zero se
. E
Portanto
Passo 5
Voltando ao resultado do Passo 3:
válido para
. Ou seja,
Passo 6
Agora usamos o teorema do deslocamento exponencial (propriedade de segunda mudança de variável): se
então
No nosso caso temos
e o fator exponencial é
, ou seja
. Como
, aplica-se
:
Passo 7
Escrever a condição de convergência: a transformada final converge para valores de
tais que o integral original convergia após o deslocamento; aqui a condição é
Portanto o resultado é válido para
.