Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=t^{2} e^{-3 t}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Foi dada a função temporal f(t)=t^{2}e^{-3t}, definida para t\ge0.
  • A pergunta é: calcular a transformada de Laplace de f(t), isto é, encontrar \mathcal{L}\{t^{2}e^{-3t}\}(s).

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) definida em [0,\infty),
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
sempre que a integral convergir. Aqui vamos aplicar essa definição primeiro a g(t)=t^{2} e depois usar uma propriedade de deslocamento exponencial (teorema do deslocamento).

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{t^{2}\}(s) por integração por partes (duas vezes). Começando por
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt.
Fazer integração por partes com \,u=t^{2} e \,dv=e^{-st}dt. Então \,du=2t\,dt e \,v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt =\left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
Avaliar o termo de fronteira: para \operatorname{Re}(s)>0 tem-se \lim_{t\to\infty} t^{2}e^{-st}=0 e no zero o termo anula; portanto o colchete vale 0. Resta
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.

Passo 4

Calcular \int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt por outra integração por partes: tome \,u=t, \,dv=e^{-st}dt, então \,du=dt e \,v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt =\left[-\frac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Novamente o termo de fronteira é zero se \operatorname{Re}(s)>0. E
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}.
Portanto
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 5

Voltando ao resultado do Passo 3:
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}},
válido para \operatorname{Re}(s)>0. Ou seja,
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}.

Passo 6

Agora usamos o teorema do deslocamento exponencial (propriedade de segunda mudança de variável): se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s) então
\mathcal{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=G(s-a).
No nosso caso temos g(t)=t^{2} e o fator exponencial é e^{-3t}, ou seja a=-3. Como G(s)=\dfrac{2}{s^{3}}, aplica-se s\mapsto s-(-3)=s+3:
\mathcal{L}\{t^{2}e^{-3t}\}(s)=\frac{2}{(s+3)^{3}}.

Passo 7

Escrever a condição de convergência: a transformada final converge para valores de s tais que o integral original convergia após o deslocamento; aqui a condição é
\operatorname{Re}(s+3)>0\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Re}(s)>-3.
Portanto o resultado é válido para \operatorname{Re}(s)>-3.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}e^{-3t}\}(s)=\frac{2}{(s+3)^{3}},\quad \operatorname{Re}(s)>-3

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