Salendo que
e que
, determine
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de Cálculo, mais especificamente de antiderivação (integração). O enunciado nos dá a derivada de uma função
e um valor inicial
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Conhecer o conceito de antiderivada (integral indefinida).
- Saber como aplicar mudanças de variável para facilitar a integração.
- Entender a função integral conhecida como Integral Cosseno.
Passo 2
Entendendo o Que Precisamos Fazer
Como temos a derivada
e queremos encontrar
, precisamos integrar
em relação a
. A integral nos dará a função original mais uma constante. Porém, já sabemos que
, o que nos ajudará a determinar essa constante.
Passo 3
Configurando a Integral
Vamos escrever a integral que representa
:
Substituindo
na integral:
Passo 4
Simplificando a Expressão Integranda
Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Fazendo uma Substituição de Variável
Vamos simplificar a integral fazendo a seguinte substituição:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Substituindo na integral:
Passo 6
Reconhecendo a Função Integral Cosseno
A integral
é conhecida como a Integral Cosseno, denotada por
. Assim, nossa expressão para
fica:
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que
, mas nesse contexto, considerando o comportamento da função, podemos simplificar para: