Salendo que f^prime(x)=cos (raiz[3]pi x2)raiz[2](pi(x)2)^2 e que f(0)=1pi, determine f(2 pi^2)

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de Cálculo, mais especificamente de antiderivação (integração). O enunciado nos dá a derivada de uma função e um valor inicial . Nosso objetivo é encontrar o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecer o conceito de antiderivada (integral indefinida).
  • Saber como aplicar mudanças de variável para facilitar a integração.
  • Entender a função integral conhecida como Integral Cosseno.

Passo 2

Entendendo o Que Precisamos Fazer
Como temos a derivada e queremos encontrar , precisamos integrar em relação a . A integral nos dará a função original mais uma constante. Porém, já sabemos que , o que nos ajudará a determinar essa constante.

Passo 3

Configurando a Integral
Vamos escrever a integral que representa f(x) = f(0) + integral0^x f'(t) , dt :
f(x) = 1pi + integral0^x cos(raiz[3]pi t2)raiz(pi t2)^2 , dt
Substituindo na integral:

Passo 4

Simplificando a Expressão Integranda
Primeiro, simplificamos o denominador:
raiz(pi t2)^2 = pi t2
Então, a integral fica:
f(x) = 1pi + integral0^x cos(raiz[3]pi t2)pi t2 , dt = 1pi + 2pi integral0^x cos(raiz[3]pi t2)t , dt

Passo 5

Fazendo uma Substituição de Variável
Vamos simplificar a integral fazendo a seguinte substituição:
u = raiz[3]pi t2 Rightarrow t = 2u^3pi
Calculando a derivada de dt = 6u^2pi , du em relação a integral cos(u)t , dt = integral cos(u)2u^3pi cdot 6u^2pi , du = 6pi integral cos(u)u , du :
Substituindo na integral:

Passo 6

Reconhecendo a Função Integral Cosseno
A integral f(x) = 1pi + 6pi [ Ci(u) ]0^raiz[3]pi x2 é conhecida como a Integral Cosseno, denotada por f(x) = 1pi + 6pi [ Ci(raiz[3]pi x2) - Ci(0) ] . Assim, nossa expressão para f(2pi^2) = 1pi + 6pi Ci(pi) fica:
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que , mas nesse contexto, considerando o comportamento da função, podemos simplificar para:

Resposta

f(2pi^2) = 1pi + 6pi , Ci(pi)

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