São conhecidos para o tubo a condutividade térmica, k=0,16 W / m cdot K e os raios interno e externo, ri=10 mm e re=12 mm. O tubo sofre transferência de calor por convecção com um fluido que circula no seu interior, a Tinfty i=200^circ C e hi=1000 W / m^2 cdot K e com um fluido que circula no exterior a he=50 W / m^2 cdot K e Tinfty e=15 ^circ C. Calcule o fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo usando os seguintes procedimentos.
a) Aplicando a equação geral de condução de calor.
b) Aplicando a analogia eléctrica.

Passo 1

Resumindo, temos um tubo cilíndrico de raios interno e externo ,ri=10,mm=0,01,m e ,re=12,mm=0,012,m, condutividade térmica ,k=0,16,W/(mcdot K). No interior há convecção com coeficiente ,hi=1000,W/(m^2cdot K) e temperatura ambiente ,Tinfty i=200^circC; no exterior, ,he=50,W/(m^2cdot K) e ,Tinfty e=15^circC. Queremos o fluxo de calor por unidade de comprimento q' em regime permanente, sem geração interna, usando (a) a equação geral de condução e (b) a analogia elétrica.

Passo 2

Pela condução radial em coordenadas cilíndricas, a equação de Laplace sem geração é
1rddr!l(r,dTdrr)=0
Integrando uma vez obtemos
dTdr=C1r,
e integrando de novo
T(r)=C1ln(r)+C2,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

O fluxo de calor por unidade de comprimento em qualquer r é
q'=-k,2pi r,dTdr=-k,2pi,C1
Nas superfícies vale a condição de convecção:
em r=ri:
q'=hi,2pi ril[T(ri)-Tinfty ir],
em r=re:
q'=he,2pi rel[T(re)-Tinfty er]
Igualando e eliminando C2, chega-se à expressão clássica
q' =2pi k,(Tinfty i-Tinfty e) ln!l(tfracrerir) +khi,ri +khe,re

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
ln!l(tfracrerir)=ln(1,2)=0,1823, khi,ri=0,161000cdot0,01=0,016, khe,re=0,1650cdot0,012approx0,2667,
logo o denominador é
0,1823+0,016+0,2667=0,4650
e De<a T=Tinfty i-Tinfty e=200-15=185.
Assim
q'=2picdot0,16cdot1852picdot0,4650 =0,16cdot1850,4650approx63,2 cdot10,4650approx400,W/m

Passo 5

Pela analogia elétrica modelamos três resistências em série por metro de comprimento:
Rconv,i=1hi,2pi ri, Rcond=ln(re/ri)2pi k, Rconv,e=1he,2pi re

Passo 6

Calculando:
Rconv,i=11000cdot2picdot0,01approx0,0159,K/W, Rcond=0,18232picdot0,16approx0,1814,K/W,
Rconv,e=150cdot2picdot0,012approx0,2653,K/W,
Rtotal=0,0159+0,1814+0,2653=0,4626,K/W
Pela lei de Ohm térmica
q'=De<a TRtotal =1850,4626approx400,W/m

Resposta

a) q'approx400,W/m usando a equação geral de condução.
b) q'approx400,W/m usando a analogia elétrica.

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