Um tubo muito fino A de raio médio r e comprimento L é colocado dentro de uma cavidade circular fixa, conforme mostrado. Se a cavidade tiver um pequeno espaço de espessura t em cada lado do tubo e for preenchida com um líquido newtoniano com viscosidade mu, determine o torque T necessário para superar a resistência do fluido e girar o tubo com uma velocidade angular constante de v. Suponha que o perfil de velocidade dentro do líquido seja linear.

Passo 1

O enunciado descreve um tubo cilíndrico fino de raio médio r e comprimento L girando com velocidade angular constante v dentro de uma cavidade fixa. Entre o tubo e a cavidade há uma folga de espessura t preenchida por um fluido newtoniano de viscosidade mu. Queremos o torque T necessário para vencer a resistência viscosidade do fluido. O conteúdo envolvido é escoamento de cisalhamento em folga estreita (fluxo de Couette aproximado por perfil linear) e a lei de Newton para fluidos ( tau=mu,du/dy).

Passo 2

A velocidade tangencial da superfície do tubo é
us = v,r
pois o tubo gira com velocidade angular v e raio r.

Passo 3

Supondo a folga t pequena em relação a r, o perfil de velocidade no fluido é linear no espaço normal y à superfície do tubo:
u(y) = usl(1 - ytr)(0<= y<= t),
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dudy = -,ust,

Passo 4

Pela lei de Newton para viscosidade, a tensão de cisalhamento no fluido junto à parede do tubo é
tau = mu,dudy = mu,ust = mu,v,rt,

Passo 5

A força de cisalhamento total na superfície curva do tubo (área 2pi rL) vale
F = tau times (2pi r L) = mu,v,rt,(2pi r L),

Passo 6

O torque T é essa força vezes o braço de momento r:
T = F,r = mu,v,rt,(2pi r L),r = 2pi,mu,L,v,r^3t,

Resposta

T = 2pi,mu,L,v,r^3t,

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