Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio, observou-se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 18; Física, 20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química, 15; Química e Física, 17; Matemática e física, 9. Nas das três disciplinas avaliadas, 6 alunos. Obtenha o número estudantes com nota satisfatória em pelo menos duas das disciplinas avaliadas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado):
- Total de estudantes:
. - Número de estudantes que tiveram nota satisfatória em apenas uma disciplina:
- apenas Matemática:
; - apenas Física:
; - apenas Química:
.
- apenas Matemática:
- Número de estudantes que tiveram nota satisfatória em duas disciplinas (conteúdo do enunciado):
- Matemática e Química:
; - Química e Física:
; - Matemática e Física:
.
- Matemática e Química:
- Número que teve nota satisfatória nas três disciplinas:
.
O que o enunciado pede: obter o número de estudantes com nota satisfatória em pelo menos duas das disciplinas avaliadas (ou seja, alunos que tiveram nota satisfatória em exatamente duas disciplinas mais os que tiveram nas três).
Passo 2
Vamos organizar com notação de conjuntos para ficar claro (isso também é a técnica que se costuma usar em prova).
- Seja
o conjunto dos alunos com nota satisfatória em Matemática. - Seja
o conjunto dos alunos com nota satisfatória em Física. - Seja
o conjunto dos alunos com nota satisfatória em Química.
As quantidades dadas podem ser interpretadas assim:
-
número de alunos só em Matemática . -
. -
. -
(número de alunos que tiveram nota em Matemática e Química; este número inclui os que também tiveram em Física). -
. -
. -
.
Obs.: os números das interseções de pares
,
,
são os contagens de “ter dois conjuntos em comum” que normalmente incluem também os alunos que pertencem aos três. Essa interpretação é coerente com os dados (se fossem “apenas dois” o total ultrapassaria
). Agora vamos à fórmula que liga esses números.
Passo 3
Entender a relação entre “interseções de pares” e “exatamente duas disciplinas”.
- Um aluno que está nas três disciplinas aparece em cada uma das três interseções de pares. Ou seja, cada aluno das três é contado 3 vezes na soma
. - Um aluno que está em exatamente duas disciplinas aparece em exatamente uma das interseções de pares.
Portanto, se chamarmos de
o número de alunos em exatamente duas disciplinas, vale a identidade:
Isolando
obtemos a fórmula útil:
Passo 4
Agora aplico a fórmula com os números do enunciado. Primeiro a soma das interseções de pares:
O número em exatamente duas disciplinas é
Também dá para ver cada par “apenas dois” separadamente:
, é a mesma coisa.
Passo 5
O enunciado pede “pelo menos duas das disciplinas”, que é a soma dos que estão em exatamente duas e dos que estão nas três. Logo:
Uma forma equivalente (e curta) é usar:
Passo 6
Pequena checagem de coerência (para ficar tranquilo na prova): total de alunos que tiveram nota em pelo menos uma disciplina é
ou seja
alunos obtiveram pelo menos uma boa nota e
não tiveram nota satisfatória em nenhuma — tudo coerente com o total de
.