Seja E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base ortonormal. Calcule \|\vec{u}\|, nos casos:
\vec{u}=-\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}\

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • E=\left(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\right) é uma base ortonormal.
  • O vetor a analisar é \vec{u}=-\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}.
O que se pede:
  • Calcular \|\vec{u}\|, ou seja, a magnitude (norma) do vetor \vec{u}.

Passo 2

Vamos lembrar o conceito que vamos usar (explicado passo a passo, como em prova).
Definição de norma: para um vetor \vec{v}\) em um espaço euclidiano, a norma é \[\|\vec{v}\|=\sqrt{\langle \vec{v},\vec{v}\rangle},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno (produto escalar).
Propriedade importante para base ortonormal: se \left(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\right) é ortonormal então
\langle \overrightarrow{e_{i}},\overrightarrow{e_{j}}\rangle= \begin{cases} 1,&\text{se }i=j,\\[4pt] 0,&\text{se }i\neq j. \end{cases}
Isso significa que os vetores têm comprimento (1] e são mutuamente ortogonais. Em provas, essa propriedade é a que torna os cálculos de norma muito simples: a norma ao quadrado vira soma dos quadrados das coordenadas.]

Passo 3

Escreve-se \vec{u} em coordenadas na base E. Já está dado:
\vec{u}=-\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+0\cdot\overrightarrow{e_{3}}.
Logo as coordenadas (componentes) são -1 na direção de \overrightarrow{e_{1}}, 1 na direção de \overrightarrow{e_{2}} e 0 na de \overrightarrow{e_{3}}.

Passo 4

Calcular \|\vec{u}\|^2=\langle \vec{u},\vec{u}\rangle. Primeiro escrevemos o produto interno explicitamente e expandimos, usando bilinearidade do produto interno:
\langle \vec{u},\vec{u}\rangle=\langle -\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}},\,-\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}\rangle.
Expandindo termo a termo:
\begin{aligned} \langle \vec{u},\vec{u}\rangle &= (-1)(-1)\langle\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{1}}\rangle + (-1)(1)\langle\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}}\rangle \\\ &\quad + (1)(-1)\langle\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{1}}\rangle + (1)(1)\langle\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{2}}\rangle. \end{aligned}
Agora aplicamos a propriedade ortonormal:
\langle\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{1}}\rangle=1,\qquad \langle\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{2}}\rangle=1,\qquad \langle\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}}\rangle=0.
Portanto os termos cruzados somam zero e obtemos
\langle \vec{u},\vec{u}\rangle = 1 + 0 + 0 + 1 = 2.

Passo 5

Tomando raiz quadrada para obter a norma:
\|\vec{u}\|=\sqrt{\langle \vec{u},\vec{u}\rangle}=\sqrt{2}.
Dica prática (para fazer rápido na prova): em uma base ortonormal, a norma de um vetor é simplesmente a raiz quadrada da soma dos quadrados das suas coordenadas. Aqui as coordenadas foram -1,1,0, então \|\vec{u}\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}. Força aí — você já sabia o caminho agora!

Resposta

\sqrt{2}

Exercícios relacionados