São dadas as seguintes funções escalares e campos vetoriais.
Determine o gradiente das funções escalares. No caso dos campos vetoriais, proceda o cálculo do divergente e rotacional
g(x, y, z)=e^{x} \operatorname{sen}(y) \ln (z)

Passo 1

O enunciado dá a função escalar
g(x,y,z)=e^{x}\,\sin(y)\,\ln(z)
e pede o gradiente de g. O conteúdo aqui é o operador gradiente aplicado a um escalar, que exige calcular derivadas parciais e agrupá-las em um vetor.

Passo 2

Lembrando que o gradiente de uma função escalar g(x,y,z) é definido como
\nabla g = \bigl(\partial_x g,\;\partial_y g,\;\partial_z g\bigr),
onde \partial_x g=\frac{\partial g}{\partial x}, etc.

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas parciais em x e y:
\displaystyle \partial_x g = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\,\sin(y)\,\ln(z)\bigr) = e^{x}\,\sin(y)\,\ln(z),
\displaystyle \partial_y g = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\,\sin(y)\,\ln(z)\bigr) = e^{x}\,\cos(y)\,\ln(z).

Passo 4

Agora a derivada parcial em z:
\displaystyle \partial_z g = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{x}\,\sin(y)\,\ln(z)\bigr) = e^{x}\,\sin(y)\,\frac{1}{z} = \frac{e^{x}\,\sin(y)}{z}.

Passo 5

Juntando tudo, o gradiente de g é
\nabla g(x,y,z) =\bigl(e^{x}\,\sin(y)\,\ln(z),\;e^{x}\,\cos(y)\,\ln(z),\;\tfrac{e^{x}\,\sin(y)}{z}\bigr).

Resposta

\nabla g(x,y,z) =\bigl(e^{x}\sin(y)\ln(z),\;e^{x}\cos(y)\ln(z),\;e^{x}\sin(y)/z\bigr).

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