São dadas as seguintes funções escalares e campos vetoriais.
Determine o gradiente das funções escalares. No caso dos campos vetoriais, proceda o cálculo do divergente e rotacional
t(s, \theta, z)=5 s[\cos (2 \theta)] z

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de t(s,\theta,z)=5\,s\cos(2\theta)\,z em coordenadas cilíndricas. Vamos usar a fórmula do gradiente em (s,\theta,z):
\nabla t \;=\;\mathbf{e}_s\,\frac{\partial t}{\partial s} \;+\;\frac{1}{s}\,\mathbf{e}_\theta\,\frac{\partial t}{\partial \theta} \;+\;\mathbf{e}_z\,\frac{\partial t}{\partial z}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de t:
\frac{\partial t}{\partial s} =5\,z\cos(2\theta), \quad \frac{\partial t}{\partial \theta} =-10\,s\,z\sin(2\theta), \quad \frac{\partial t}{\partial z} =5\,s\cos(2\theta).

Passo 3

Substituindo na expressão de \nabla t:
\nabla t =\mathbf{e}_s\bigl(5\,z\cos(2\theta)\bigr) +\frac{1}{s}\,\mathbf{e}_\theta\bigl(-10\,s\,z\sin(2\theta)\bigr) +\mathbf{e}_z\bigl(5\,s\cos(2\theta)\bigr).
Simplificando o segundo termo:
\nabla t =5\,z\cos(2\theta)\,\mathbf{e}_s -10\,z\sin(2\theta)\,\mathbf{e}_\theta +5\,s\cos(2\theta)\,\mathbf{e}_z.

Resposta

\nabla t =5\,z\cos(2\theta)\,\mathbf{e}_s -10\,z\sin(2\theta)\,\mathbf{e}_\theta +5\,s\cos(2\theta)\,\mathbf{e}_z.

Exercícios relacionados