São dadas as seguintes funções escalares e campos vetoriais.
Determine o gradiente das funções escalares. No caso dos campos vetoriais, proceda o cálculo do divergente e rotacional
f(x, y, z)=x^{3}+4 z^{3}

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função escalar
f(x,y,z)=x^{3}+4z^{3}.
Estamos em cálculo vetorial, e para obter o gradiente de uma função de três variáveis precisamos calcular suas derivadas parciais em relação a x, y e z.

Passo 2

A definição de gradiente é
\nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).
Ou seja, basta encontrar cada derivada parcial de f.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+4z^{3}\bigr) =3x^{2}+0 =3x^{2}.
Como z é tratado como constante e o termo 4z^{3} não depende de x, sua derivada em x é zero.

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+4z^{3}\bigr) =0+0 =0,
pois nenhum dos termos depende de y.

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}+4z^{3}\bigr) =0+12z^{2} =12z^{2}.
Aqui x é tratado como constante e a derivada de 4z^{3} é 12z^{2}.

Resposta

\nabla f(x,y,z) = \bigl(3x^{2},\,0,\,12z^{2}\bigr).

Exercícios relacionados