São dadas a seguir expressões para a corrente ou tensão em uma reatância capacitiva de 20 \Omega. Determine a expressão senoidal para a tensão ou corrente, conforme o caso. v(t)=150 \cdot \operatorname{sen}(377 \cdot t);
Passo 1
O enunciado dá uma tensão senoidal aplicada a uma reatância capacitiva e pede a corrente correspondente. Informações que temos:
v(t)=150\cdot\operatorname{sen}(377\cdot t)
X_C=20\\ \Omega
O que se pede: determinar a expressão senoidal para a corrente i(t) que circula na reatância capacitiva.
Passo 2
Identificar os parâmetros da tensão dada:
Amplitude (valor de pico) da tensão: V_m=150 (volts).
Frequência angular: \omega=377 (rad/s).
Anotações: na forma v(t)=V_m\sin(\omega t), é isso que usamos.
Passo 3
Relembrando a relação entre tensão e corrente em um capacitor (aula curta):
A impedância de um capacitor vale Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-jX_C, onde X_C=\dfrac{1}{\omega C} é a reatância capacitiva (positiva em módulo) e j é a unidade imaginária.
Em regime senoidal, pela lei de Ohm fasorial, a corrente fasorial é \underline{I}=\dfrac{\underline{V}}{Z_C}.
Como Z_C=-jX_C, temos \underline{I}=\dfrac{\underline{V}}{-jX_C}=\underline{V}\cdot\dfrac{j}{X_C}. O fator j corresponde a um avanço de fase de +\dfrac{\pi}{2} (ou +90^\circ).
Portanto: a amplitude da corrente é
I_m=\frac{V_m}{X_C}
e a corrente antecipa a tensão em 90^\circ, isto é, a forma no tempo será \sin(\omega t+\tfrac{\pi}{2}) (equivalente a um cosseno).
Passo 4
Calcular a amplitude da corrente usando \displaystyle I_m=\frac{V_m}{X_C}:
I_m=\frac{150}{20}=7{,}5\\ \text{(ampères)}è
Explicação prática: você pega o pico da tensão e divide pela reatância (como se fosse uma “resistência” mas lembrando que o capacitor muda a fase).
Passo 5
Montar a expressão temporal usando o avanço de +\tfrac{\pi}{2}: