São dadas a seguir expressões para a corrente ou tensão em uma reatância capacitiva de 20 \Omega. Determine a expressão senoidal para a tensão ou corrente, conforme o caso.
v(t)=150 \cdot \operatorname{sen}(377 \cdot t);

Passo 1

O enunciado dá uma tensão senoidal aplicada a uma reatância capacitiva e pede a corrente correspondente. Informações que temos:
v(t)=150\cdot\operatorname{sen}(377\cdot t)
X_C=20\\ \Omega
O que se pede: determinar a expressão senoidal para a corrente i(t) que circula na reatância capacitiva.

Passo 2

Identificar os parâmetros da tensão dada:
  • Amplitude (valor de pico) da tensão: V_m=150 (volts).
  • Frequência angular: \omega=377 (rad/s).
    Anotações: na forma v(t)=V_m\sin(\omega t), é isso que usamos.

Passo 3

Relembrando a relação entre tensão e corrente em um capacitor (aula curta):
  • A impedância de um capacitor vale Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-jX_C, onde X_C=\dfrac{1}{\omega C} é a reatância capacitiva (positiva em módulo) e j é a unidade imaginária.
  • Em regime senoidal, pela lei de Ohm fasorial, a corrente fasorial é \underline{I}=\dfrac{\underline{V}}{Z_C}.
  • Como Z_C=-jX_C, temos \underline{I}=\dfrac{\underline{V}}{-jX_C}=\underline{V}\cdot\dfrac{j}{X_C}. O fator j corresponde a um avanço de fase de +\dfrac{\pi}{2} (ou +90^\circ).
    Portanto: a amplitude da corrente é
I_m=\frac{V_m}{X_C}
e a corrente antecipa a tensão em 90^\circ, isto é, a forma no tempo será \sin(\omega t+\tfrac{\pi}{2}) (equivalente a um cosseno).

Passo 4

Calcular a amplitude da corrente usando \displaystyle I_m=\frac{V_m}{X_C}:
I_m=\frac{150}{20}=7{,}5\\ \text{(ampères)}è
Explicação prática: você pega o pico da tensão e divide pela reatância (como se fosse uma “resistência” mas lembrando que o capacitor muda a fase).

Passo 5

Montar a expressão temporal usando o avanço de +\tfrac{\pi}{2}:
i(t)=I_m\sin\!\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)
Substituindo os valores:
i(t)=7{,}5\sin\!\left(377\,t+\frac{\pi}{2}\right)\\ \text{A}

Passo 6

Mostrar a forma equivalente em cosseno (porque \sin(\theta+\tfrac{\pi}{2})=\cos\theta):
i(t)=7{,}5\cos(377\,t)\\ \text{A}
Ambas as formas são exatamente iguais; escolha a que você achar mais conveniente na prova.

Passo 7

Método alternativo (para aprender outra visão): usar a definição de capacitor i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}.
  • Primeiro, calculamos C a partir de X_C=\dfrac{1}{\omega C}\Rightarrow C=\dfrac{1}{\omega X_C}:
C=\frac{1}{377\cdot 20}=\frac{1}{7540}\approx 1{,}326\times10^{-4}\\ \text{F}.
  • Derivando v(t):
\frac{dv}{dt}=150\cdot 377\cos(377t)=56550\cos(377t).
  • Então
i(t)=C\frac{dv}{dt}=\frac{1}{7540}\cdot 56550\cos(377t)=7{,}5\cos(377t),
que confirma o resultado anterior. Legal: dois caminhos, mesma resposta — isso aumenta a confiança!

Resposta

i(t)=7{,}5\sin\!\left(377\,t+\dfrac{\pi}{2}\right)\\ \text{A}=7{,}5\cos(377\,t)\\ \text{A}

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