Considere a função
. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função f(x)=\frac{x+7}{x^{2}+4x-12} cresce ou decresce. Vamos usar a regra do quociente para obter f’(x) e depois estudar o sinal de f’(x), lembrando que o domínio é ℝ{−6,2}.
Passo 2
Aplicando a regra do quociente temos f’(x) igual a
Agora simplificamos o numerador:
E fatoramos esse polinômio:
Passo 3
Portanto
Como o denominador ao quadrado é sempre positivo (exceto nos pontos de descontinuidade x=−6 e x=2), o sinal de f’(x) vem de −(x+10)(x+4). As raízes são x=−10 e x=−4.
Passo 4
Fazendo o estudo de sinal de −(x+10)(x+4) e lembrando de excluir x=−6 e x=2, obtemos:
• Para x<−10: f’(x)<0.
• Para −10<x<−4 (com quebra em x=−6): f’(x)>0.
• Para x>−4: f’(x)<0.
• Para x<−10: f’(x)<0.
• Para −10<x<−4 (com quebra em x=−6): f’(x)>0.
• Para x>−4: f’(x)<0.
Passo 5
Logo, f cresce quando f’(x)>0 e decresce quando f’(x)<0, respeitando as descontinuidades.
Resposta
f cresce em (−10,−6) ∪ (−6,−4) e f decresce em (−∞,−10) ∪ (−4,2) ∪ (2,∞).