Considere a função f(x)=x+7x^2+4 x-12. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função f(x)=\frac{x+7}{x^{2}+4x-12} cresce ou decresce. Vamos usar a regra do quociente para obter f’(x) e depois estudar o sinal de f’(x), lembrando que o domínio é ℝ{−6,2}.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente temos f’(x) igual a
f'(x)=(1),(x^2+4x-12)-(x+7),(2x+4)(x^2+4x-12)^2
Agora simplificamos o numerador:
N(x)=(x^2+4x-12)-(2x^2+18x+28)=-x^2-14x-40
E fatoramos esse polinômio:
N(x)=-(x^2+14x+40)=-(x+10)(x+4)

Passo 3

Portanto
f'(x)=-(x+10)(x+4)(x^2+4x-12)^2
Como o denominador ao quadrado é sempre positivo (exceto nos pontos de descontinuidade x=−6 e x=2), o sinal de f’(x) vem de −(x+10)(x+4). As raízes são x=−10 e x=−4.

Passo 4

Fazendo o estudo de sinal de −(x+10)(x+4) e lembrando de excluir x=−6 e x=2, obtemos:
• Para x<−10: f’(x)<0.
• Para −10<x<−4 (com quebra em x=−6): f’(x)>0.
• Para x>−4: f’(x)<0.

Passo 5

Logo, f cresce quando f’(x)>0 e decresce quando f’(x)<0, respeitando as descontinuidades.

Resposta

f cresce em (−10,−6) ∪ (−6,−4) e f decresce em (−∞,−10) ∪ (−4,2) ∪ (2,∞).

Exercícios relacionados