São dados os complexos z_{1}=3\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right] e z_{2}=4\left[\cos \left(\frac{\alpha \pi}{2}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\alpha \pi}{2}\right)\right]. Determine o menor valor de \alpha, real e positivo, de modo que o número z_{1} \cdot z_{2} seja real.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
z_{1}=3\biggl[\cos\!\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)+\mathrm{i}\sin\!\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr]
e
z_{2}=4\biggl[\cos\!\biggl(\frac{\alpha\pi}{2}\biggr)+\mathrm{i}\sin\!\biggl(\frac{\alpha\pi}{2}\biggr)\biggr],
e pede: determinar o menor valor de \alpha, real e positivo, tal que o produto z_{1}\cdot z_{2} seja um número real.
Informações relevantes dadas:
  • O módulo de z_{1} é 3.
  • O argumento (ângulo) de z_{1} é \dfrac{\pi}{4}.
  • O módulo de z_{2} é 4.
  • O argumento de z_{2} é \dfrac{\alpha\pi}{2}.
  • Queremos que z_{1}z_{2} seja real (isto é, que a parte imaginária seja zero).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): representação polar e multiplicação
  • Um número complexo pode ser escrito na forma polar como
z = r\bigl[\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr],
onde r>0 é o módulo (distância à origem) e \theta é o argumento (ângulo).
  • Regra de multiplicação na forma polar (fórmula de De Moivre para produtos): se
z_a = r_a\bigl[\cos(\theta_a)+\mathrm{i}\sin(\theta_a)\bigr]\quad\text{e}\quad z_b = r_b\bigl[\cos(\theta_b)+\mathrm{i}\sin(\theta_b)\bigr],
então
z_a z_b = r_a r_b\bigl[\cos(\theta_a+\theta_b)+\mathrm{i}\sin(\theta_a+\theta_b)\bigr].
Explicação do porquê, em palavras simples: ao multiplicar complexos na forma polar multiplicamos as distâncias (módulos) e somamos os ângulos (argumentos). Isso vem das fórmulas trigonométricas para o cosseno e seno da soma de ângulos.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • Módulo do produto será 3\cdot 4 = 12.
  • Argumento do produto será a soma dos argumentos:
\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha\pi}{2}.
Portanto
z_{1}z_{2}=12\biggl[\cos\!\biggl(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha\pi}{2}\biggr)+\mathrm{i}\sin\!\biggl(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha\pi}{2}\biggr)\biggr].

Passo 4

Condição para o produto ser real:
  • Um número complexo R+\mathrm{i}I é real quando a parte imaginária I é zero.
  • Aqui a parte imaginária é 12\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\alpha\pi}{2}\bigr). Para ela ser zero precisamos de
\sin\!\biggl(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha\pi}{2}\biggr)=0.
  • Sabemos que \sin(t)=0 exatamente quando t=k\pi para algum inteiro k. Logo devemos ter
\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha\pi}{2}=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Resolver a equação para \alpha:
  • Dividindo ambos os lados por \pi obtemos
\frac{1}{4}+\frac{\alpha}{2}=k.
  • Isolando \alpha:
\frac{\alpha}{2}=k-\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad \alpha=2k-\frac{1}{2}=\frac{4k-1}{2},
com k\in\mathbb{Z}.
Escolhendo o menor \alpha positivo:
  • Para k=0 temos \alpha=-\tfrac{1}{2} (não serve, é negativo).
  • O menor inteiro k que torna \alpha positivo é k=1. (Com k\ge 2 obtemos valores maiores; com k\le 0 obtemos \alpha\le -\tfrac{1}{2}.)

Resposta

\alpha=\dfrac{3}{2}

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