São dados os complexos
. Determine o menor valor de
, real e positivo, de modo que o número
seja real.
Passo 1
O enunciado dá os números complexos
e
e pede: determinar o menor valor de
, real e positivo, tal que o produto
seja um número real.
Informações relevantes dadas:
- O módulo de
é . - O argumento (ângulo) de
é . - O módulo de
é . - O argumento de
é . - Queremos que
seja real (isto é, que a parte imaginária seja zero).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): representação polar e multiplicação
- Um número complexo pode ser escrito na forma polar como
onde
é o módulo (distância à origem) e
é o argumento (ângulo).
- Regra de multiplicação na forma polar (fórmula de De Moivre para produtos): se
então
Explicação do porquê, em palavras simples: ao multiplicar complexos na forma polar multiplicamos as distâncias (módulos) e somamos os ângulos (argumentos). Isso vem das fórmulas trigonométricas para o cosseno e seno da soma de ângulos.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso:
- Módulo do produto será
. - Argumento do produto será a soma dos argumentos:
Portanto
Passo 4
Condição para o produto ser real:
- Um número complexo
é real quando a parte imaginária é zero. - Aqui a parte imaginária é
. Para ela ser zero precisamos de
- Sabemos que
exatamente quando para algum inteiro . Logo devemos ter
Passo 5
Resolver a equação para
:
- Dividindo ambos os lados por
obtemos
- Isolando
:
com
.
Escolhendo o menor
positivo:
- Para
temos (não serve, é negativo). - O menor inteiro
que torna positivo é . (Com obtemos valores maiores; com obtemos .)