Sejam os números complexos z_{1}=2\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right] e z_{2}=4[\cos (\alpha \cdot \pi)+i \cdot \operatorname{sen}(\alpha \cdot \pi)]. Calcule o valor de \alpha, real e positivo, de modo que o número z_{1} \cdot z_{2}, seja imaginário puro.
R: \alpha=1 / 6

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
z_{1}=2\bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\bigr)
e
z_{2}=4\bigl(\cos(\alpha\pi)+i\sin(\alpha\pi)\bigr),
onde \alpha é real e positivo. A pergunta é: calcular o valor de \alpha tal que o produto z_{1}\cdot z_{2} seja um número imaginário puro (ou seja, sua parte real seja zero).

Passo 2

Entendendo como multiplicar números complexos em forma trigonométrica (aulas rápidas):
Quando um número complexo é escrito como r(\cos\theta+i\sin\theta), chamamos r de módulo (distância ao origem) e \theta de argumento (ângulo). A regra de multiplicação é simples e muito útil:
r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\cdot r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)= r_1r_2\bigl(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\bigr).
Isto significa: multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Vou usar essa regra porque torna a conta curta e clara.

Passo 3

Vamos simplificar z_{1} em forma retangular para confirmar módulos e argumentos. Conhecemos
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em z_{1},
z_{1}=2\Bigl(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)=1+i\sqrt{3}.
Daí o módulo de z_{1} é |z_{1}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2 (coerente com o fator 2 dado) e seu argumento é \tfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Escrevemos z_{2} na mesma forma trigonométrica já dada: módulo 4 e argumento \alpha\pi. Não precisamos calcular \cos(\alpha\pi) e \sin(\alpha\pi) agora; mantemos \alpha simbólico.

Passo 5

Aplicando a regra de multiplicação (Passo 2) a z_{1} e z_{2}, o produto é
z_{1}\cdot z_{2}=2\cdot 4\;\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{3}+\alpha\pi)+i\sin(\tfrac{\pi}{3}+\alpha\pi)\bigr).
Simplificando o módulo:
z_{1}\cdot z_{2}=8\bigl(\cos(\pi(\alpha+\tfrac{1}{3}))+i\sin(\pi(\alpha+\tfrac{1}{3}))\bigr).

Passo 6

Condição de ser imaginário puro:
Um número complexo x+iy é imaginário puro quando sua parte real x é zero. No nosso caso, a parte real de z_{1}\cdot z_{2} é 8\cos(\pi(\alpha+\tfrac{1}{3})). Portanto exigimos
\cos\!\bigl(\pi(\alpha+\tfrac{1}{3})\bigr)=0.
Além disso queremos que a parte imaginária não seja zero; mas quando o cosseno é zero, o seno vale \pm 1, então a parte imaginária será 8(\pm 1)\neq 0, logo não há problema.

Passo 7

Resolver a equação \cos(\theta)=0. Sabemos que
\cos(\theta)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Aqui \theta=\pi(\alpha+\tfrac{1}{3}). Igualando:
\pi\bigl(\alpha+\tfrac{1}{3}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
Dividindo por \pi,
\alpha+\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{2}+k.

Passo 8

Isolando \alpha:
\alpha=\tfrac{1}{2}+k-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}+k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto as soluções gerais são \alpha=\tfrac{1}{6}+k. Como o enunciado pede \alpha real e positivo, qualquer k inteiro que torne \alpha>0 é aceitável. Para k=0 obtemos a menor solução positiva:
\alpha=\tfrac{1}{6}.

Resposta

\alpha=\dfrac{1}{6}

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