Sejam os números complexos
e
. Calcule o valor de
, real e positivo, de modo que o número
, seja imaginário puro.
R:
R:
Passo 1
O enunciado dá os números complexos
e
onde
é real e positivo. A pergunta é: calcular o valor de
tal que o produto
seja um número imaginário puro (ou seja, sua parte real seja zero).
Passo 2
Entendendo como multiplicar números complexos em forma trigonométrica (aulas rápidas):
Quando um número complexo é escrito como , chamamos
de módulo (distância ao origem) e
de argumento (ângulo). A regra de multiplicação é simples e muito útil:
Quando um número complexo é escrito como
Isto significa: multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Vou usar essa regra porque torna a conta curta e clara.
Passo 3
Vamos simplificar
em forma retangular para confirmar módulos e argumentos. Conhecemos
Substituindo em
,
Daí o módulo de
é
(coerente com o fator
dado) e seu argumento é
.
Passo 4
Escrevemos
na mesma forma trigonométrica já dada: módulo
e argumento
. Não precisamos calcular
e
agora; mantemos
simbólico.
Passo 5
Aplicando a regra de multiplicação (Passo 2) a
e
, o produto é
Simplificando o módulo:
Passo 6
Condição de ser imaginário puro:
Um número complexo é imaginário puro quando sua parte real
é zero. No nosso caso, a parte real de
é
. Portanto exigimos
Um número complexo
Além disso queremos que a parte imaginária não seja zero; mas quando o cosseno é zero, o seno vale
, então a parte imaginária será
, logo não há problema.
Passo 7
Resolver a equação
. Sabemos que
Aqui
. Igualando:
Dividindo por
,
Passo 8
Isolando
:
Portanto as soluções gerais são
. Como o enunciado pede
real e positivo, qualquer
inteiro que torne
é aceitável. Para
obtemos a menor solução positiva: