São dados dois vetores: a=4,0 i-3,0 j e b=6,0 i+8,0 j. Quais são: o módulo e o ângulo de b-a com j ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular duas coisas envolvendo vetores: primeiro, o módulo (ou tamanho) do vetor b - a, e segundo, o ângulo que esse vetor forma com o eixo j (que é o eixo vertical, o eixo y). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como subtração de vetores, cálculo de módulo e uso da tangente para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor b - a. Subtrair dois vetores é bem direto: subtraímos as componentes correspondentes de cada vetor. Temos:
a = 4,0,i - 3,0,j
b = 6,0,i + 8,0,j
Então,
b - a = (6,0 - 4,0),i + (8,0 - (-3,0)),j = 2,0,i + 11,0,j

Passo 3

Agora que temos o vetor b - a = 2,0,i + 11,0,j, vamos calcular o módulo desse vetor. O módulo de um vetor v = vx,i + vy,j é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|b - a| = raiz(2,0)^2 + (11,0)^2 = raiz4 + 121 = raiz125 approx 11,18

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo que o vetor b - a faz com o eixo j. Para isso, usamos a tangente do ângulo, que é a razão entre a componente no eixo i e a componente no eixo j:
tan(theta) = vxvy = 2,011,0
Para encontrar o ângulo theta, tiramos a arctangente dessa razão:
theta = arctan(2,011,0) approx arctan(0,1818) approx 10,3^circ

Resposta

O módulo do vetor b - a é aproximadamente 11,18 unidades e o ângulo que ele forma com o eixo j é de cerca de 10,3 graus.

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