São dados dois vetores:
e
. Quais são: o ângulo entre as direções de
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre vetores. Você tem dois vetores,
e
, com componentes dadas. Queremos descobrir qual é o ângulo entre as direções dos vetores
e
. Para isso, vamos precisar entender como subtrair e somar vetores, além de usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor
. Para subtrair dois vetores, a gente subtrai componente por componente:
Vamos fazer a subtração das componentes de $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor
. Para somar dois vetores, a gente soma componente por componente:
Vamos somar as componentes de $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $:
Então,
Passo 4
Agora que temos os vetores
e
, vamos encontrar o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. - $ |\vec{u}| $ e $ |\vec{v}| $ são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
- $ \theta $ é o ângulo entre eles.
Nossa meta é encontrar $ \theta $, então vamos rearranjar a fórmula:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
, onde
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
. A magnitude de um vetor $ \vec{w} = w_x,\hat{i} + w_y,\hat{j} $ é dada por:
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Passo 7
Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, podemos encontrar o ângulo $ \theta $:
Agora, calculamos o arco cosseno de 0,6:
Para converter para graus:
Resposta
O ângulo entre as direções de
e
é aproximadamente
.