São dados dois vetores: a=4,0 i-3,0 j e b=6,0 i+8,0 j. Quais são: o ângulo entre as direções de b-a e a+b ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre vetores. Você tem dois vetores, a e b, com componentes dadas. Queremos descobrir qual é o ângulo entre as direções dos vetores b - a e a + b. Para isso, vamos precisar entender como subtrair e somar vetores, além de usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor b - a. Para subtrair dois vetores, a gente subtrai componente por componente:
b - a = (6,0,i + 8,0,j) - (4,0,i - 3,0,j)
Vamos fazer a subtração das componentes de $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $:
i
Então,
j

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor a + b. Para somar dois vetores, a gente soma componente por componente:
a + b = (4,0,i - 3,0,j) + (6,0,i + 8,0,j)
Vamos somar as componentes de $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $:
i
Então,
j

Passo 4

Agora que temos os vetores b - a e a + b, vamos encontrar o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde:
  • u cdot v é o produto escalar dos vetores.
  • $ |\vec{u}| $ e $ |\vec{v}| $ são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
  • $ \theta $ é o ângulo entre eles.
Nossa meta é encontrar $ \theta $, então vamos rearranjar a fórmula:
|u|

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v, onde u = b - a = 2,0,i + 11,0,j e v = a + b = 10,0,i + 5,0,j:
u cdot v = (2,0)(10,0) + (11,0)(5,0) = 20,0 + 55,0 = 75,0

Passo 6

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores u e v. A magnitude de um vetor $ \vec{w} = w_x,\hat{i} + w_y,\hat{j} $ é dada por:
w = wx,i + wy,j
Primeiro, para |w| = raizwx^2 + wy^2 :
u = 2,0,i + 11,0,j
Agora, para |u| = raiz(2,0)^2 + (11,0)^2 = raiz4,0 + 121,0 = raiz125,0 approx 11,18 :
v = 10,0,i + 5,0,j

Passo 7

Com o produto escalar e as magnitudes calculadas, podemos encontrar o ângulo $ \theta $:
theta
Agora, calculamos o arco cosseno de 0,6:
theta = arccos( 75,011,18 times 11,18 ) = arccos( 75,0125,0 ) = arccos(0,6)
Para converter para graus:
theta approx arccos(0,6) approx 0,9273 radianos

Resposta

O ângulo entre as direções de b - a e a + b é aproximadamente 53,13^circ.

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