São dados dois vetores: a=(4,0 m) i-(3,0 m) j e b=(6,0 m) i+(8,0 m) j. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação a i) de a. Determine © o módulo e (d) o ângulo de b. Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de a+b, (g) o módulo e (h) o ângulo de b-a; (i) o módulo e (j) o ângulo de a-b. (k) Determine o ângulo entre as direções de b-a e a-b.

Passo 1

Beleza, o enunciado dá dois vetores em 2D
e e pede módulos e ângulos de , , , , e, por fim, o ângulo entre e .
Conteúdo: operações básicas com vetores (soma, diferença), cálculo de módulo e ângulo via com cuidado do quadrante.

Passo 2

(a) Módulo de |vec a|=raiz4^2+(-3)^2=raiz16+9=raiz25=5 m :
Usamos .
Aqui , :

Passo 3

(b) Ângulo de thetaa=arctan!l(tfrac-34r)approx -36,87^circ em relação a :
Teoria: , depois ajusta quadrante.
Como estamos no quarto quadrante, dá -36,87° ou, se quiser positivo, .

Passo 4

© Módulo de |vec b|=raiz6^2+8^2=raiz36+64=raiz100=10 m :

Passo 5

(d) Ângulo de thetab=arctan!l(tfrac86r)approx 53,13^circ, :
e como estamos no primeiro quadrante mesmo.

Passo 6

(e) Módulo de vec a+vec b=(4+6,,-3+8)=(10,5) :
Primeiro soma componente a componente:
|vec a+vec b| =raiz10^2+5^2 =raiz100+25 =raiz125approx11,18 m
Então

Passo 7

(f) Ângulo de thetaa+b=arctan!l(tfrac510r) =arctan(0,5)approx26,57^circ :
(1º quadrante, sem ajuste).

Passo 8

(g) Módulo de vec b-vec a=(6-4,,8-(-3))=(2,11), |vec b-vec a|=raiz2^2+11^2=raiz4+121=raiz125approx11,18 m :

Passo 9

(h) Ângulo de thetab-a=arctan!l(tfrac112r)approx79,69^circ :
(1º quadrante porque ).

Passo 10

(i) Módulo de vec a-vec b=(4-6,,-3-8)=(-2,-11), |vec a-vec b|=raiz(-2)^2+(-11)^2=raiz4+121=raiz125approx11,18 m :

Passo 11

(j) Ângulo de theta'=arctan!l(tfrac-11-2r) =arctan(5,5)approx79,69^circ :
Mas está no terceiro quadrante ( ), então
.

Passo 12

(k) Ângulo entre (vec b-vec a)cdot(vec a-vec b) =(2)(-2)+(11)(-11)=-4-121=-125, e cosphi=-125/125=-1;Longrightarrow;phi=180^circ :
Teoria: .
e .

Resposta

(a)
(b) (ou )
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k) Ângulo entre e : .

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