Seja u=(a, b) um vetor unitário dado. Calcule partial fpartial u(0,0) sendo
f(x, y)=c x^3x^2+y^2,(x, y) neq(0,0) 0,(x, y)=(0,0)

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)=x^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
E queremos a derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor unitário u=(a,b). Vamos usar a definição de derivada direcional.

Passo 2

A definição de derivada direcional de f em (0,0) na direção u=(a,b) é
partial fpartial u(0,0)=limtto0f(0+ta,,0+tb)-f(0,0)t= limtto0f(ta,tb)t

Passo 3

Substituindo (x,y)=(ta,tb) em f e usando a^2+b^2=1, temos
f(ta,tb)=(ta)^3(ta)^2+(tb)^2 =t^3a^3t^2(a^2+b^2) = t,a^3
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f(ta,tb)t=a^3

Passo 4

Como o quociente f(ta,tb)/t é constante igual a a^3 para todo tneq0, o limite quando tto0 é simplesmente a^3.

Resposta

a^3

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