São dados três vetores (em metros): r1=-3,0 i+3,0 j+2,0 k, r2=-2,0 i-4,0 j+2,0 k, r3=2,0 i+3,0 j+1,0 k. Determine: r1 cdot(r2 times r3);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem três vetores dados:
r1 = -3,0, i + 3,0, j + 2,0, k,
r2 = -2,0, i - 4,0, j + 2,0, k,
r3 = 2,0, i + 3,0, j + 1,0, k
Precisamos encontrar o produto misto desses vetores, que é dado por:
r1 cdot (r2 times r3)
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial ( times) e o produto escalar ( cdot). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial r2 times r3. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Vamos montar essa matriz com r2 e r3:
r2 times r3 = i & j & k -2,0 & -4,0 & 2,0 2,0 & 3,0 & 1,0

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que:
r2 times r3 = i( (-4,0)(1,0) - (2,0)(3,0) ) - j( (-2,0)(1,0) - (2,0)(2,0) ) + k( (-2,0)(3,0) - (-4,0)(2,0) )
Vamos calcular cada componente:
Para i:
(-4,0)(1,0) - (2,0)(3,0) = (-4 times 1) - (2 times 3) = -4 - 6 = -10
Para j:
(-2,0)(1,0) - (2,0)(2,0) = (-2 times 1) - (2 times 2) = -2 - 4 = -6
Para k:
(-2,0)(3,0) - (-4,0)(2,0) = (-2 times 3) - (-4 times 2) = -6 + 8 = 2

Passo 4

Substituindo os valores calculados nas componentes:
r2 times r3 = -10, i - (-6), j + 2, k = -10, i + 6, j + 2, k

Passo 5

Agora que temos o produto vetorial r2 times r3, vamos calcular o produto escalar com r1. O produto escalar entre dois vetores é dado por:
a cdot b = axbx + ayby + azbz
Então,
r1 cdot (r2 times r3) = (-3,0)(-10) + (3,0)(6) + (2,0)(2)

Passo 6

Vamos fazer as multiplicações:
(-3,0) times (-10) = 30
(3,0) times 6 = 18
(2,0) times 2 = 4
Somando tudo:
30 + 18 + 4 = 52

Resposta

O valor de r1 cdot (r2 times r3) é 52 metros cúbicos.

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