Considere um bastão (também chamado de reta finita de carga) de diâmetro desprezível, de comprimento 2L, uniformemente carregado com uma densidade linear de cargas
.
calcular o potencial elétrico V em um ponto P situado sobre a mediatriz ao bastão, a uma distancia y do centro do mesmo. Considere como origem das coordenadas o ponto onde a mediatriz corta o bastão (meio dele). Tome um elemento infinitesimal de comprimento do bastão dx, em um ponto qualquer do mesmo, a direita da origem, ele contem uma carga dq, que gera no ponto P , que está a uma distancia r, um potencial também infinitesimal dV (lembre que é um escalar, NÃO vetor). Integre ao longo do bastão.
calcular o potencial elétrico V em um ponto P situado sobre a mediatriz ao bastão, a uma distancia y do centro do mesmo. Considere como origem das coordenadas o ponto onde a mediatriz corta o bastão (meio dele). Tome um elemento infinitesimal de comprimento do bastão dx, em um ponto qualquer do mesmo, a direita da origem, ele contem uma carga dq, que gera no ponto P , que está a uma distancia r, um potencial também infinitesimal dV (lembre que é um escalar, NÃO vetor). Integre ao longo do bastão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bastão carregado de forma uniforme, com densidade linear de carga
, e queremos calcular o potencial elétrico
em um ponto
que está na mediatriz do bastão, a uma distância
do centro. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do potencial elétrico produzido por uma carga pontual e integrar ao longo do bastão.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em um elemento infinitesimal de comprimento do bastão, que a gente chama de
. Esse pedacinho do bastão tem uma carga pequena
, que pode ser expressa como
, já que
é a densidade linear de carga.
Passo 3
Agora, queremos saber o potencial
gerado por esse pequeno carregamento
no ponto
. A fórmula do potencial elétrico devido a uma carga pontual é:
Onde:
-
é a permitividade do vácuo -
é a distância entre o elemento de carga e o ponto
Passo 4
Vamos calcular essa distância
. Sabemos que o ponto
está a uma distância
do centro do bastão e que o elemento
está a uma distância
da origem (meio do bastão). Usando o teorema de Pitágoras, temos:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
, ficamos com:
Passo 6
Para encontrar o potencial total
, precisamos integrar
ao longo de todo o bastão. O bastão vai de
a
, já que o comprimento total é
:
Passo 7
Essa integral é simétrica em relação a
, então podemos simplificar calculando de
a
e multiplicando por 2:
Passo 8
A integral
é uma integral padrão que resulta em
. Assim:
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
Então, o potencial elétrico no ponto
é: