Considere um bastão (também chamado de reta finita de carga) de diâmetro desprezível, de comprimento 2L, uniformemente carregado com uma densidade linear de cargas lambda.
calcular o potencial elétrico V em um ponto P situado sobre a mediatriz ao bastão, a uma distancia y do centro do mesmo. Considere como origem das coordenadas o ponto onde a mediatriz corta o bastão (meio dele). Tome um elemento infinitesimal de comprimento do bastão dx, em um ponto qualquer do mesmo, a direita da origem, ele contem uma carga dq, que gera no ponto P , que está a uma distancia r, um potencial também infinitesimal dV (lembre que é um escalar, NÃO vetor). Integre ao longo do bastão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bastão carregado de forma uniforme, com densidade linear de carga lambda, e queremos calcular o potencial elétrico V em um ponto P que está na mediatriz do bastão, a uma distância y do centro. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do potencial elétrico produzido por uma carga pontual e integrar ao longo do bastão.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em um elemento infinitesimal de comprimento do bastão, que a gente chama de dx. Esse pedacinho do bastão tem uma carga pequena dq, que pode ser expressa como dq = lambda , dx, já que lambda é a densidade linear de carga.

Passo 3

Agora, queremos saber o potencial dV gerado por esse pequeno carregamento dq no ponto P. A fórmula do potencial elétrico devido a uma carga pontual é:
dV = 14piepsilon0 cdot dqr
Onde:
  • epsilon0 é a permitividade do vácuo
  • r é a distância entre o elemento de carga dq e o ponto P

Passo 4

Vamos calcular essa distância r. Sabemos que o ponto P está a uma distância y do centro do bastão e que o elemento dq está a uma distância x da origem (meio do bastão). Usando o teorema de Pitágoras, temos:
r = raizx^2 + y^2

Passo 5

Substituindo dq = lambda , dx e r = raizx^2 + y^2 na expressão de dV, ficamos com:
dV = 14piepsilon0 cdot lambda , dxraizx^2 + y^2

Passo 6

Para encontrar o potencial total V, precisamos integrar dV ao longo de todo o bastão. O bastão vai de -L a L, já que o comprimento total é 2L:
V = integral-L^L 14piepsilon0 cdot lambda , dxraizx^2 + y^2

Passo 7

Essa integral é simétrica em relação a x=0, então podemos simplificar calculando de 0 a L e multiplicando por 2:
V = lambda4piepsilon0 cdot 2 integral0^L dxraizx^2 + y^2

Passo 8

A integral integral dxraizx^2 + y^2 é uma integral padrão que resulta em ln(x + raizx^2 + y^2). Assim:
V = lambda2piepsilon0 [ ln(x + raizx^2 + y^2) ]0^L

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
V = lambda2piepsilon0 [ ln(L + raizL^2 + y^2) - ln(0 + raiz0 + y^2) ]
Simplificando:
V = lambda2piepsilon0 [ ln( L + raizL^2 + y^2y ) ]

Resposta

Então, o potencial elétrico no ponto P é:
V = lambda2piepsilon0 ln( L + raizL^2 + y^2y )

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