1. São dados os vetores e ortogonais entre si, tendo como versores e , respectivamente. Determine , o versor do vetor , sabendo-se que tem projeções algébricas iguais sobre e e ainda que são LD.

Passo 1

O enunciado diz que vec a e vec b são ortogonais e têm versores vec a0 e vec b0. O vetor vec v é linearmente dependente de vec a e vec b (ou seja, está no plano gerado por eles) e tem projeções algébricas iguais sobre vec a e vec b. Nosso objetivo é achar o versor vec v0, que é simplesmente vec v dividido pela sua norma.

Passo 2

Como vec a,vec b,vec v são LD e vec a0,vec b0 são ortonormais, podemos escrever
vec v = X,vec a0 + Y,vec b0

Passo 3

A projeção algébrica de vec v sobre vec a é
projvec a(vec v)=vec vcdotvec a|vec a|=vec vcdotvec a0=X
e, de modo análogo, sobre vec b vale vec vcdotvec b0=Y. Como essas projeções são iguais, temos
X=Y
Logo vec v = kl(vec a0+vec b0r) para algum escalar kneq0.

Passo 4

O versor vec v0 é dado por
vec v0=vec v|vec v| =k(vec a0+vec b0)|k|;|vec a0+vec b0| =vec a0+vec b0|vec a0+vec b0|

Passo 5

Como vec a0 e vec b0 são ortogonais e de norma 1,
|vec a0+vec b0|^2 =(vec a0+vec b0)cdot(vec a0+vec b0) =1+1+2,vec a0cdotvec b0 =2,
logo |vec a0+vec b0|=raiz2. Portanto
vec v0=vec a0+vec b0raiz2 =raiz22l(vec a0+vec b0r)

Resposta

vec v0=raiz22l(vec a0+vec b0r)

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