1. Demonstre vetorialmente a lei dos co-senos: a^2=b^2+c^2+2 b c cos theta, onde theta é o ângulo entre as direções dos vetores b e c.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, de forma vetorial, a lei dos cossenos
a^2=b^2+c^2+2,b,ccostheta
onde theta é o ângulo entre os vetores b e c. Vamos usar o conceito de produto escalar e a representação de um triângulo por vetores.

Passo 2

Num triângulo cujos lados são representados pelos vetores b, c e a, temos a relação de fechamento
a=b+c

Passo 3

Tomamos o quadrado da norma de a usando o produto escalar:
|a|^2 =(b+c)cdot(b+c) =|b|^2+|c|^2 +2,bcdotc

Passo 4

Pelo produto escalar sabemos que
bcdotc =|b|;|c|costheta = b,ccostheta
Substituindo em |a|^2 obtemos
a^2=b^2+c^2+2,b,ccostheta,
que é exatamente a lei dos cossenos.

Resposta

a^2=b^2+c^2+2,b,ccostheta

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