Resolva as equações diferenciais a seguir, de forma explícita ou implícita.
d y=2 t(y^2+9) d t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dy = 2,tl(y^2+9r),dt,
que é uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar y e t, integrar e achar a solução geral.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo ambos os lados por y^2+9 e por dt:
dyy^2+9 = 2,t,dt

Passo 3

Integramos cada lado:
integral dyy^2+9 = integral 2,t,dt
À esquerda, usamos integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracuar). Aqui u=y e a=3, dando
13arctan!l(tfracy3r) = t^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Podemos escrever a solução em forma explícita. Multiplicando por 3:
arctan!l(tfracy3r) = 3,t^2 + 3C
Definindo K=3C, aplicamos a tangente em ambos os lados:
y3 = tan!l(3,t^2 + Kr) Longrightarrow y = 3,tan!l(3,t^2 + Kr)

Resposta

A solução geral implícita é
13arctan!l(tfracy3r) = t^2 + C,
ou, de forma explícita,
y = 3,tan!l(3,t^2 + Kr),
onde C e K são constantes de integração relacionadas por K=3C.

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