Vamos decompor 1k(k+1). Procuramos números A e B tais que:
1k(k+1)=Ak+Bk+1

Passo 1

O enunciado pede para decompor a fração 1k(k+1) em soma de frações simples da forma Ak+Bk+1. O conteúdo é frações parciais e precisamos encontrar as constantes A e B.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados de 1k(k+1) = Ak + Bk+1 por k(k+1) para eliminar denominadores e obtemos:
1 = A(k+1) + Bk

Passo 3

Expandindo o lado direito e agrupando termos semelhantes, temos:
1 = Ak + A + Bk = (A + B)k + A

Passo 4

Para que essa igualdade seja válida para todo k, comparamos coeficientes: o coeficiente de k A + B = 0 e o termo constante dá A = 1. Assim, B = -1.

Resposta

1k(k+1) = 1k - 1k+1

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